Câu hỏi của Thầy Cao Đô

Question

(0,5 điểm) Với các số thực $a$ và $b$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}=2$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=3(a+b)+a b$.

Nguyễn Thái An · Accepted Answer

Từ điều kiện �2+�2=2a2+b2=2, ta có (�+�)2−2��=2⇒��=12(�+�)2−1(a+b)2−2ab=2⇒ab=21​(a+b)2−1.

Đặt �=�+�x=a+b.

Khi đó �=3�+12�2−1=12(�+3)2−112P=3x+21​x2−1=21​(x+3)2−211​.

Ta có (�+�)2≤2(�2+�2)⇒�2≤4⇒−2≤�≤2(a+b)2≤2(a2+b2)⇒x2≤4⇒−2≤x≤2.

Do đó �+3≥1⇒(�+3)2≥1⇒�≥−5x+3≥1⇒(x+3)2≥1⇒P≥−5.

Dấu bằng xảy ra khi �=�=−1a=b=−1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của �P là −5−5.Câu trả lời: Từ điều kiện �2+�2=2a2+b2=2, ta có (�+�)2−2��=2⇒��=12(�+�)2−1(a+b)2−2ab=2⇒ab=21​(a+b)2−1.

Đặt �=�+�x=a+b.

Khi đó �=3�+12�2−1=12(�+3)2−112P=3x+21​x2−1=21​(x+3)2−211​.

Ta có (�+�)2≤2(�2+�2)⇒�2≤4⇒−2≤�≤2(a+b)2≤2(a2+b2)⇒x2≤4⇒−2≤x≤2.

Do đó �+3≥1⇒(�+3)2≥1⇒�≥−5x+3≥1⇒(x+3)2≥1⇒P≥−5.

Dấu bằng xảy ra khi �=�=−1a=b=−1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của �P là −5−5.