BT: Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Kẻ 2 tiếm tuyến Ax, By của nửa đường tròn (O). Qua M thuộc nửa đường tròn ( M ≠ A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt các tia Ax và By theo thứ tự tại C và Da, C/m: ΔCOD vuôngb, C/m: AC.BD = R2c, Kẻ MH ⊥ AB. C/m: BC đi qua trung điểm của...
Đọc tiếp
BT: Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Kẻ 2 tiếm tuyến Ax, By của nửa đường tròn (O). Qua M thuộc nửa đường tròn ( M ≠ A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt các tia Ax và By theo thứ tự tại C và D
a, C/m: ΔCOD vuông
b, C/m: AC.BD = R2
c, Kẻ MH ⊥ AB. C/m: BC đi qua trung điểm của MH
Lời giải:
a)
Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có $CM=CA$. Mà $CM\perp MO, CA\perp OA$ nên $C$ cách đều 2 cạnh $OM, OA$. Do đó $OC$ là phân giác $\widehat{MOA}$
$\Rightarrow \widehat{COM}=\frac{1}{2}\widehat{AOM}$
Tương tự:
$\widehat{DOM}=\frac{1}{2}\widehat{DOM}$
$\Rightarrow \widehat{COD}=\widehat{COM}+\widehat{DOM}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}=90^0$
$\Rightarrow \triangle COD$ vuông tại $O$
b)
$AC.BD=CM.DM(1)$
Tam giác $COD$ vuông tại $O$ có $OM\perp CD$ nên theo hệ thức lượng trong tam giác ta có:
$CM.DM=OM^2=R^2(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow AC.BD=R^2$
c) Gọi $I$ là giao $BC$ và $MH$
$K$ là giao $BM$ và $Ax$
Ta có:
Vì $KC\parallel DB$ nên $\widehat{CKM}=\widehat{DBM}$ (so le trong)
$\widehat{DBM}=\widehat{DMB}=\widehat{KMC}$ (do $DM=DB$ nên tam giác $DMB$ cân tại D)
Do đó: $\widehat{CKM}=\widehat{KMC}$ nên tam giác $CKM$ cân tại $C$
$\Rightarrow CK=CM$. Mà $CM=CA$ nên $CK=CA$
Mặt khác:
$MH\parallel Ax$ (cùng vuông góc $AB$) nên theo định lý Talet:
$\frac{MI}{KC}=\frac{BI}{BC}=\frac{IH}{CA}$
Vừa cm được $KC=CA$ nên $MI=IH$ hay $I$ là trung điểm $MH$
Ta có đpcm.
Hình vẽ: