Question

[bùi đức mạnh]

Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB và một điểm M trên đường tròn (M khác A và B). Tiếp tuyến tại A và B của (O) cắt tiếp tuyến tại M theo thứ tự ở C và D.

          a) AC + BD = CD và AC.BD không đổi.

          b) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.

          c) Giả sử . Tính diện tích tứ giác OMDB theo R.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Xét (O) có

CM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)

CA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(gt)

Do đó: CM=CA(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét (O) có 

DM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)

DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)

Do đó: DM=DB(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có: CM+MD=CD(M nằm giữa C và D)

mà CM=CA(cmt)

mà DM=DB(cmt)

nên AC+BD=CD(đpcm)

b) Gọi G là tâm của đường tròn đường kính CD

Xét (G) có CD là đường kính

nên G là trung điểm của CD

Ta có: AC⊥AB(AC là tiếp tuyến của (O))

BD⊥BA(BD là tiếp tuyến của (O))

Do đó: AC//BD(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)

Xét tứ giác ACDB có AC//DB(cmt)

nên ACDB là hình thang có hai đáy là AC và DB(Định nghĩa hình thang)

Xét (O) có AB là đường kính

nên O là trung điểm của AB

Hình thang ACDB(AC//DB) có 

G là trung điểm của cạnh bên CD(cmt)

O là trung điểm của cạnh bên AB(cmt)

Do đó: GO là đường trung bình của hình thang ACDB(Định nghĩa đường trung bình của hình thang)

⇒GO//AC//BD và \(GO=\dfrac{AC+BD}{2}\)(Định lí 4 về đường trung bình của hình thang)

Ta có: GO//AC(cmt)

AC⊥AB(AC là tiếp tuyến của (O))

Do đó: GO⊥AB(Định lí 2 từ vuông góc tới song song)

hay GO⊥OA

Xét (O) có 

CA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(gt)

CM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)

Do đó: OC là tia phân giác của \(\widehat{AOM}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇒\(\widehat{COM}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{AOM}\)

Xét (O) có 

DM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)

DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)

Do đó: OD là tia phân giác của \(\widehat{MOB}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇒\(\widehat{DOM}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{MOB}\)

Ta có: \(\widehat{COM}+\widehat{DOM}=\widehat{COD}\)(tia OM nằm giữa hai tia OC và OD)

hay \(\widehat{COD}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot180^0=90^0\)

Xét ΔCOD có \(\widehat{COD}=90^0\)(cmt)

nên ΔCOD vuông tại O(Định nghĩa tam giác vuông)

mà OG là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền CD(G là trung điểm của CD)

nên \(OG=\dfrac{CD}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

mà \(CG=\dfrac{CD}{2}\)(G là trung điểm của CD)

nên OG=CG

⇔OG=R'

hay O∈(G)

Xét (G) có 

O∈(G)

AO⊥GO tại O(cmt)

Do đó: AO là tiếp tuyến của (G)(Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn)

⇔AB là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính CD(đpcm)