Question

[Sách Giáo Khoa]

Trong các dãy số \(\left(u_n\right)\) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn ?

a) \(u_n=2n^2-1\)

b) \(u_n=\dfrac{1}{n\left(n+2\right)}\)

c) \(u_n=\dfrac{1}{2n^2-1}\)

d) \(u_n=\sin n+\cos n\)

Answer 1

[Minh Hải]

a) Dãy số bị chặn dưới vì u_n = 2n² -1 ≥ 1 với mọi n ε N^* và không bị chặn trên vì với số M dương lớn bất kì, ta có 2n² -1 > M <=> n > . tức là luôn tồn tại n ≥ + 1 để 2 - 1 > M. b) Dễ thấy u_n > 0 với mọi n ε N^* Mặt khác, vì n ≥ 1 nên n² ≥ 1 và 2n ≥ 2. Do đó n(n + 2) = n² + 2n ≥ 3, suy ra . Vậy dãy số bị chặn 0 < u_n với mọi n ε N^* c) Vì n ≥ 1 nên 2n² - 1 > 0, suy ra > 0 Mặt khác n² ≥ 1 nên 2n² ≥ 2 hay 2n² - 1≥ 1, suy ra ≤ 1. Vậy 0 < u_n ≤ 1, với mọi n ε N^* , tức dãy số bị chặn. d) Ta có: sinn + cosn = √2sin(n + ), với mọi n. Do đó: -√2 ≤ sinn + cosn ≤ √2 với mọi n ε N^* Vậy -√2 < u_n < √2, với mọi n ε N^* .