Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}{n^2} \ge 1\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\\ \Leftrightarrow {n^2} + 2 \ge 3\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
Dãy số bị chặn dưới
b) Ta có:
\(\begin{array}{l} - 2n \ge - 2\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\\ \Leftrightarrow - 2n + 1 \ge - 1\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
Dãy số bị chặn dưới
c) Ta có:
\(\begin{array}{l}{n^2} \ge 1\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\\ \Leftrightarrow {n^2} + n \ge 2\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\\ \Leftrightarrow 0 \le \frac{1}{{{n^2} + n}} \le \frac{1}{2}\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
Dãy số bị chặn
• Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right) + 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 2}} = \frac{{n + 1 + 1}}{{n + 1 + 2}} = \frac{{n + 2}}{{n + 3}}\)
Xét hiệu:
\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n + 2}}{{n + 3}} - \frac{{n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{{{\left( {n + 2} \right)}^2} - \left( {n + 1} \right)\left( {n + 3} \right)}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{{\left( {{n^2} + 4n + 4} \right) - \left( {{n^2} + n + 3n + 3} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{{n^2} + 4n + 4 - {n^2} - n - 3n - 3}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{1}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
Vậy \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\). Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
• Ta có: \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{\left( {n + 2} \right) - 1}}{{n + 2}} = 1 - \frac{1}{{n + 2}}\)
\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:
\(n + 2 > 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{n + 2}} > 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{{n + 2}} < 1 \Leftrightarrow {u_n} < 1\). Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên.
\(n \ge 1 \Leftrightarrow n + 2 \ge 1 + 2 \Leftrightarrow n + 2 \ge 3 \Leftrightarrow \frac{1}{{n + 2}} \le \frac{1}{3} \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{{n + 2}} \ge 1 - \frac{1}{3} \Leftrightarrow {u_n} \ge \frac{2}{3}\)
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới.
Ta thấy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.
Chọn A.
a) Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n + 1 + 1}} = \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n + 2}}\)
Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n + 2}} - \frac{{{n^2}}}{{n + 1}} = \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^3} - {n^2}\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{{n^3} + 3{n^2} + 3n + 1 - {n^3} - 2{n^2}}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{{n^2} + 3n + 1}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0\) với mọi n ∈ ℕ*.
Vì vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.
b) Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{2}{{{5^{n + 1}}}}\)
Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{2}{{{5^{n + 1}}}} - \frac{2}{{{5^n}}} = - \frac{4}{5}.\frac{2}{{{5^n}}} = - \frac{8}{{{5^{n + 1}}}} < 0\)
Vì vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.
• Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} = \frac{{2n + 2 - 1}}{{n + 1 + 1}} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}\)
Xét hiệu:
\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} - \frac{{2n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{\left( {2n + 1} \right)\left( {n + 1} \right) - \left( {2n - 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {2{n^2} + n + 2n + 1} \right) - \left( {2{n^2} - n + 4n - 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{2{n^2} + n + 2n + 1 - 2{n^2} + n - 4n + 2}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{3}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
Vậy \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\). Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
• Ta có: \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 3}}{{n + 1}} = 2 - \frac{3}{{n + 1}}\)
\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:
\(n + 1 > 0 \Leftrightarrow \frac{3}{{n + 1}} > 0 \Leftrightarrow 2 - \frac{3}{{n + 1}} < 2 \Leftrightarrow {u_n} < 2\). Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên.
\(n \ge 1 \Leftrightarrow n + 1 \ge 1 + 1 \Leftrightarrow n + 1 \ge 2 \Leftrightarrow \frac{3}{{n + 1}} \le \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2 - \frac{3}{{n + 1}} \ge 2 - \frac{3}{2} \Leftrightarrow {u_n} \ge \frac{1}{2}\)
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới.
Ta thấy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.
a) Bị chặn trên vì \(u_n\le1,\forall n\in\mathbb{N}^{\circledast}\)
b) Bị chặn dưới vì \(u_n\ge2,\forall n\in\mathbb{N}^{\circledast}\)
c) Bị chặn dưới vì \(u_n\ge\sqrt{3},\forall n\in\mathbb{N}^{\circledast}\)
d) Bị chặn vì \(0< u_n\le\dfrac{1}{2},\forall n\in\mathbb{N}^{\circledast}\)
Ta có: \(u_n=\dfrac{2n+1}{n+2}=\dfrac{2\left(n+2\right)-3}{n+2}=2-\dfrac{3}{n+2}\)
\(\forall x\in N\)*, ta có:
\(n+2>0\Leftrightarrow\dfrac{3}{n+2}>0\Leftrightarrow2-\dfrac{3}{n+2}< 2\Leftrightarrow u_n< 2\)
Vậy \(\left(u_n\right)\) bị chặn trên.
\(n\ge1\Leftrightarrow n+2\ge3\Leftrightarrow\dfrac{3}{n+2}\le1\Leftrightarrow2-\dfrac{3}{n+2}\ge1\Leftrightarrow u_n\ge1\)
Vậy \(\left(u_n\right)\) bị chặn dưới.
Ta thấy dãy số \(\left(u_n\right)\) bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số \(\left(u_n\right)\) bị chặn.
a) Ta có: \(n \ge 1\; \Rightarrow n - 1 \ge 0\; \Rightarrow {u_n} \ge 0,\;\forall \;n \in {N^*}\;\)
Do đó, \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới bởi 0.
\(\left( {{u_n}} \right)\) không bị chặn trên vì không tồn tại số M nào để \(n - 1 < M,\;\forall \;n \in {N^*}\).
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}\forall n \in {N^*},{u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}} > 0.\\{u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{n + 2 - 1}}{{n + 2}} = 1 - \frac{1}{{n + 2}} < 1,\forall n \in {N^*}\\ \Rightarrow 0 < {u_n} < 1\end{array}\)
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.
c) Ta có:
\( - 1 < \sin n < 1\)
\( \Rightarrow - 1 < {u_n} < 1,\forall n \in {N^*}\)
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.
d) Ta có:
Nếu n chẵn, \({u_n} = - {n^2} < 0\), \(\forall n \in {N^*}\).
Nếu n lẻ, \({u_n} = {n^2} > 0\), \(\forall n \in {N^*}\).
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) không bị chặn.