Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Xét hiệu un+1 - un = - 2 - (
- 2) =
-
.
Vì <
nên un+1 - un =
-
< 0 với mọi n ε N* .
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.
b) Xét hiệu un+1 - un =
=
Vậy un+1 > un với mọi n ε N* hay dãy số đã cho là dãy số tăng.
c) Các số hạng ban đầu vì có thừa số (-1)n, nên dãy số dãy số không tăng và cũng không giảm.
d) Làm tương tự như câu a) và b) hoặc lập tỉ số (vì un > 0 với mọi n ε N* ) rồi so sánh với 1.
Ta có
với mọi n ε N*
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm
a) Bị chặn trên vì \(u_n\le1,\forall n\in\mathbb{N}^{\circledast}\)
b) Bị chặn dưới vì \(u_n\ge2,\forall n\in\mathbb{N}^{\circledast}\)
c) Bị chặn dưới vì \(u_n\ge\sqrt{3},\forall n\in\mathbb{N}^{\circledast}\)
d) Bị chặn vì \(0< u_n\le\dfrac{1}{2},\forall n\in\mathbb{N}^{\circledast}\)
a)
\(u_1=10^{1-2.1}=10^{-1};u_2=10^{1-2.2}=10^{-3}\);
\(u_3=10^{1-2.3}=10^{-5}\); \(u_4=10^{1-2.4}=10^{-7}\);
\(u_5=10^{1-2.5}=10^{-9}\).
Xét \(\dfrac{u_n}{u_{n-1}}=\dfrac{10^{1-2n}}{10^{1-2\left(n-1\right)}}=\dfrac{10^{1-2n}}{10^{3-2n}}=10^{-2}=\dfrac{1}{100}\).
Suy ra: \(u_n=\dfrac{1}{100}u_{n-1}\) và dễ thấy \(\left(u_n\right)>0,\forall n\in N^{\circledast}\) nên \(u_n< u_{n-1},\forall n\ge2\).
Vậy \(\left(u_n\right)\) là dãy số tăng.
b) \(u_1=3^1-7=-4\); \(u_2=3^2-7=2\); \(u_3=3^3-7=25\);
\(u_4=3^4-7=74\); \(u_5=3^5-7=236\).
\(u_n-u_{n-1}=3^n-7-\left(3^{n-1}-7\right)=3^n-3^{n-1}=2.3^{n-1}\)\(\left(n\ge2\right)\).
Với \(n\ge2\) thì \(2.3^{n-1}>0\) nên \(u_n>u_{n-1}\).
Vậy \(\left(u_n\right)\) là dãy số tăng.
1/ Dễ thấy \(\left(x_n\right)\) là dãy dương
\(\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{\left(n+2\right)!}{2^{n+1}}.\frac{2^n}{\left(n+1\right)!}=\frac{n+2}{2}=1+\frac{n}{2}>1\)
\(\Rightarrow x_{n+1}>x_n\Rightarrow x_n\) là dãy tăng
Ta có \(0< sin^2\left(n+1\right)< 1\) \(\forall n\in N\) \(\Rightarrow1-sin^2\left(n+1\right)>0\)
\(y_{n+1}-y_n=n+1+sin^2\left(n+2\right)-\left(n+sin^2\left(n+1\right)\right)\)
\(=1-sin^2\left(n+1\right)+sin^2\left(n+2\right)>sin^2\left(n+2\right)>0\)
\(\Rightarrow y_{n+1}>y_n\Rightarrow y_n\) là dãy tăng
2/ \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=3\\u_{n+1}=\frac{1}{4}u_n\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow u_n\) là cấp số nhân với công bội \(q=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow u_n=u_1.q^{n-1}=\frac{3}{4^{n-1}}\)
3/ Không thấy cho n trong khoảng nào, chắc là \(n\ge0\)?
\(u_n=\frac{3n+7-6}{3n+7}=1-\frac{6}{3n+7}< 1\)
\(u_n+\frac{1}{7}=\frac{3n-1}{3n+7}+\frac{1}{7}=\frac{24n}{7\left(3n+7\right)}\ge0\Rightarrow u_n\ge-\frac{1}{7}\)
\(\Rightarrow-\frac{1}{7}\le u_n< 1\Rightarrow u_n\) là dãy bị chặn (bị chặn cả trên lẫn dưới)
Xét hiệu:
un+1−un=(n+1+1n+1)−(n+1n)=1+1n+1−1n=n2+n−1n(n+1)>0,∀n∈N∗un+1−un=(n+1+1n+1)−(n+1n)=1+1n+1−1n=n2+n−1n(n+1)>0,∀n∈N∗
Suy ra: un là dãy số tăng (1)
Mặt khác: un=n+1n≥2√n.1n=2∀n∈N∗un=n+1n≥2n.1n=2∀n∈N∗
Nên un là dãy số bị chặn dưới (2)
Ta thấy khi n càng lớn thì un càng lớn nên un là dãy số không bị chặn (3)
Từ (1), (2), (3) ta có un là dãy số tăng và bị chặn dưới.
b) Ta có:
u1 = (-1)0.sin1 = sin 1 > 0
u2=(−1)1.sin12=−sin12<0u3=(−1)2.sin13=sin13>0u2=(−1)1.sin12=−sin12<0u3=(−1)2.sin13=sin13>0
⇒ u1 > u2 và u2 < u3
Vậy un là dãy số tăng không đơn điệu.
Ta lại có:
|un|=|(−1)n−1.sin1n|=|sin1n|≤1⇔−1≤un≤1|un|=|(−1)n−1.sin1n|=|sin1n|≤1⇔−1≤un≤1
Vậy un là dãy số bị chặn và không đơn điệu.
c) Ta có:
un=√n+1−√n=n+1−n√n+1+√n=1√n+1+√nun=n+1−n=n+1−nn+1+n=1n+1+n
Xét hiệu:
un+1−un=1√(n+1)+1+√n+1−1√n+1+√n=1√n+2+√n+1−1√n+1+√nun+1−un=1(n+1)+1+n+1−1n+1+n=1n+2+n+1−1n+1+n
Ta có:
{√n+2>√n+1√n+1>√n⇒√n+2+√n+1>√n+1+√n{n+2>n+1n+1>n⇒n+2+n+1>n+1+n
⇒1√n+2+√n+1<1√n+1+√n⇒un+1−un<0⇒1n+2+n+1<1n+1+n⇒un+1−un<0
⇒ un là dãy số giảm (1)
Mặt khác:
un=1√n+1+√n>0,∀n∈N∗un=1n+1+n>0,∀n∈N∗
Suy ra: un là dãy số bị chặn dưới (2)
Ta lại có: với n ≥ 1 thì √n+1+√n≥√2+1n+1+n≥2+1
Nên un=1√n+1+√n≤1√2+1un=1n+1+n≤12+1
Suy ra: un là dãy số bị chặn trên (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có: un là dãy số giảm và bị chặn
a)
Xét hiệu
\(u_{n+1}-u_n=\left(n+1+\dfrac{1}{n+1}\right)-\left(n+\dfrac{1}{n}\right)\)\(=1+\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n}=1-\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{n^2+n-1}{n\left(n+1\right)}>0\) (Với mọi \(n\in N^{\circledast}\) ).
Suy ra: \(u_{n+1}>u_n\) nên \(\left(u_n\right)\) là dãy số tăng.
Mặt khác: \(u_n\ge2\sqrt{n.\dfrac{1}{n}}=2\) nên \(\left(u_n\right)\) là dãy số bị chặn dưới bởi 2.
Mặt khác n càng tăng thì \(u_n\) càng lớn theo giá trị của \(n\) nên \(\left(u_n\right)\) là dãy số không bị chặn trên.
b) \(u_1=\left(-1\right)^{1-1}.sin1=sin1>0\).
\(u_2=\left(-1\right)^{2-1}sin\dfrac{1}{2}=-sin\dfrac{1}{2}< 0\).
\(u_3=\left(-1\right)^{3-1}.sin\dfrac{1}{3}=sin\dfrac{1}{3}>0\).
Ta thấy \(u_1>u_2\) và \(u_2< u_3\) nên \(\left(u_n\right)\) là dãy số không tăng và không giảm.
\(\left|u_n\right|=\left|\left(-1\right)^{n-1}sin\dfrac{1}{n}\right|\le\left|\left(-1\right)^{n-1}\right|=1\).
Suy ra: \(-1\le u_n\le1\) nên \(\left(u_n\right)\) bị chặn trên bởi \(1\) và chặn dưới bởi \(-1\).
c)
\(u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\dfrac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}\)\(=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\)
Xét hiệu:
\(u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{n}-\sqrt{n+2}}{\left(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}\)
\(=\dfrac{-2}{\left(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+2}\right)}< 0\)
Vậy \(\left(u_n\right)\) là dãy số giảm.
\(u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}>0\) nên \(\left(u_n\right)\) là dãy số bị chặn dưới bởi 0.
\(u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}< \dfrac{1}{\sqrt{1+0}+\sqrt{0}}=1\) nên \(\left(u_n\right)\) là dãy số bị chặn trên bởi 1.