TT
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
MA
1
KB
6 tháng 4 2019
Với x ; y > 0 , cần c/m : \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
Ta có : \(x^3+y^3-xy\left(x+y\right)=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2-xy\right)=\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0\)
( điều này luôn đúng với mọi x ; y > 0 )
=> BĐT được c/m
Áp dụng vào bài toán , ta có :
\(\frac{1}{x^3+y^3+xyz}+\frac{1}{y^3+z^3+xyz}+\frac{1}{x^3+z^3+xyz}\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+xyz}+\frac{1}{yz\left(y+z\right)+xyz}+\frac{1}{xz\left(x+z\right)+xyz}=\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{xz\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{xyz\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{xyz}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z;x,y,z>0\)
G
0
LQ
1
26 tháng 6 2021
\(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c\left(x,y,z\ne0\right)\).
Ta có:
\(a+b+c=0\).
Ta phải chứng minh rằng nếu \(a+b+c=0\)thì \(a^3+b^3+c^3=3abc\).
Thật vậy, xét hiệu \(A=a^3+b^3+c^3-3abc\)với \(a+b+c=0\).
\(A=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)-3abc+c^3\).
\(A=\left[\left(a+b\right)^3+c^3\right]-\left[3ab\left(a+b\right)+3abc\right]\).
\(A=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]\)\(-3ab\left(a+b+c\right)\).
\(A=\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ab-ac+c^2-3ab\right)\).
\(A=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\).
\(A=0\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)(vì \(a+b+c=0\)).
Do đó \(a^3+b^3+c^3-3abc=0\).
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)với \(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\frac{3}{xyz}\)với \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)(điều phải chứng minh).
BL
0
25 tháng 1 2022
giả sử cả 3 số xyz đều nhỏ hơn 1
=>x+y+z<1+1+1=3
ta có x+y+z>\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\)=\(\dfrac{xy+yz+xz}{xyz}\)\(\ge\)\(\dfrac{3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}}{abc}\) =\(\dfrac{3}{\sqrt[3]{abc}}=\dfrac{3}{\sqrt[3]{1}}=3\) vậy x+y+z >3
từ đó sẽ có ít nhất 1 trong 3 số lớn hơn 1
L2
0
NH
1
27 tháng 7 2023
(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2
=>2(xy+yz+xz)=0
=>xy+xz+yz=0
=>xy/xyz+xz/xyz+yz/xyz=0
=>1/x+1/y+1/z=0