Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
đầu tiên cần c/m x3+y3 >= xy(x+y) (chứng minh=biến đổi tương đương)
ta có x3+y3+1 >= xy(x+y)+1=xy(x+y)+xyz=xy(x+y+z)
=>1/(x3+y3+1) <= 1/xy(x+y+z)
tương tự với 2 phân thức còn lại rồi cộng lại
Với x ; y > 0 , cần c/m : \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
Ta có : \(x^3+y^3-xy\left(x+y\right)=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2-xy\right)=\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0\)
( điều này luôn đúng với mọi x ; y > 0 )
=> BĐT được c/m
Áp dụng vào bài toán , ta có :
\(\frac{1}{x^3+y^3+xyz}+\frac{1}{y^3+z^3+xyz}+\frac{1}{x^3+z^3+xyz}\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+xyz}+\frac{1}{yz\left(y+z\right)+xyz}+\frac{1}{xz\left(x+z\right)+xyz}=\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{xz\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{xyz\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{xyz}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z;x,y,z>0\)
Đặt \(^{\hept{\begin{cases}x=a^2\\y=b^2\\z=c^2\end{cases}}\Rightarrow abc=1}\)
\(\Rightarrow P=\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\)
ÁP DỤNG BĐT AM-GM :
\(a^2+b^2\ge2ab\)
\(b^2+1\ge2b\)
\(\Rightarrow a^2+2b^2+3\ge2\left(ab+b+1\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2b^2+3}\le\frac{1}{2}.\frac{1}{ab+b+1}\)
Tương tự \(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\le\frac{1}{2}.\frac{1}{bc+c+1}\)
\(\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2}.\frac{1}{ac+a+1}\)
Cộng từng vế các bđt trên ta được
\(P\le\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\frac{\sqrt{3\sqrt[3]{x^3y^3}}}{xy}=\frac{\sqrt{3xy}}{xy}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta có:
\(\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}};\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{xz}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xz}}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(M\ge\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\right)=\sqrt{3}\cdot\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xyz}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{xyz}}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{xyz}}\right)\)
\(=\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{xyz}}\ge\sqrt{3}\cdot\frac{3\sqrt[3]{\sqrt{xyz}}}{1}=3\sqrt{3}\)
Khi \(x=y=z=1\)
Sử dụng bất đẳng thức:
\(x^3+y^3\ge3xy\left(x+y\right)\)
Có: \(M=2018\left(\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}\right)\)
\(M\le2018\left(\frac{xyz}{xy\left(x+y\right)+xyz}+\frac{xyz}{yz\left(y+z\right)+xyz}+\frac{xyz}{xz\left(x+z\right)+xyz}\right)\)
\(M\le2018\left(\frac{xyz}{xy\left(x+y+z\right)}+\frac{xyz}{yz\left(x+y+z\right)}+\frac{xyz}{xz\left(x+y+z\right)}\right)\)
\(M\le2018\left(\frac{x+y+z}{x+y+z}\right)=2018\)
Vậy Max M=2018 khi x=y=z=1
Dễ dàng chứng minh được với mọi \(x,y>0\) thì ta luôn có:
\(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\) \(\left(\text{*}\right)\)
Thật vậy, xét hiệu \(x^3+y^3-xy\left(x+y\right)=x^3-x^2y+-xy^2+y^3=x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)=\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\)
\(x^3+y^3-xy\left(x+y\right)=\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) (vì \(\left(x-y\right)^2\ge0\) với mọi \(x,y\) và \(x+y>0\))
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(x-y=0\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y\)
Vậy, bất đẳng thức \(\left(\text{*}\right)\) luôn đúng với mọi \(x,y>0\)
Do đó, từ \(\left(\text{*}\right)\) ta suy ra:
\(x^3+y^3+xyz\ge xy\left(x+y\right)+xyz\) (do \(x,y,z>0\))
\(\Leftrightarrow\) \(x^3+y^3+xyz\ge xy\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(x^3+y^3+1\ge xy\left(x+y+z\right)\) (do \(xyz=1\))
Khi đó, vì hai vế của bđt trên cùng dấu nên ta lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức, tức là:
\(\frac{1}{x^3+y^3+1}\le\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}\) \(\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{1}{x^3+y^3+1}\le\frac{xyz}{xy\left(x+y+z\right)}\) (do \(xyz=1\))
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{1}{x^3+y^3+1}\le\frac{z}{x+y+z}\)
Hoàn toàn tương tự với vòng hoán vị \(x\) \(\rightarrow\) \(y\) \(\rightarrow\) \(z\), ta cũng chứng minh được:
\(\frac{1}{y^3+z^3+1}\le\frac{x}{x+y+z}\) \(\left(2\right)\) và \(\frac{1}{z^3+x^3+1}\le\frac{y}{x+y+z}\) \(\left(3\right)\)
Cộng từng vế \(\left(1\right);\) \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\), ta được:
\(\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}\le\frac{z}{x+y+z}+\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(x=y=z=1\)