cho x,y,z là các số thực không âm .Tìm min của \(x^4+y^4+z^4\) . Biết x+y+z=2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NX
1
GV
3
BT
10 tháng 3 2018
Cách 1:
Áp dụng tính chất cuẩ BĐT, Ta có: \(x^4+y^4+z^4\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}\)
Lại có: \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
=> \(x^4+y^4+z^4\ge\frac{\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^2}{3}=\frac{16}{27}\)
=> GTNN của \(x^4+y^4+z^4=\frac{16}{27}\) đạt được khi x=y=z=2/3
HL
3
6 tháng 9 2016
\(x^4+y^4+z^4\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}\ge\frac{\left[\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\right]^2}{3}=\frac{\left(x+y+z\right)^4}{27}=\frac{16}{27}..\)
Min = 16/27 khi x =y =z = 2/3
6 tháng 9 2016
\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx=2\)
mà \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\frac{4}{3}\)
Tương tự:\(x^4+y^4+z^4\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)\cdot\frac{1}{3}\ge\frac{4^2}{3^2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{16}{27}\)
Dấu ''='' xảy ra khi x=y=z=2/3
21 tháng 11 2021
Gọi cái biểu thức đó là P nha
Trước tiên chứng minh:
\(\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}-\left(\frac{y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^4-y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4-z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4-x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)
\(\Leftrightarrow x-y+y-z+z-x=0\)( đúng )
Giờ ta quay lại bài toán ban đầu
Ta có:
\(\Leftrightarrow2P=\frac{x^4+y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4+z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4+x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)
\(\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{\left(y^2+z^2\right)^2}{2\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{\left(z^2+x^2\right)^2}{2\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)
\(=\frac{x^2+y^2}{2\left(x+y\right)}+\frac{y^2+z^2}{2\left(y+z\right)}+\frac{z^2+x^2}{2\left(z+x\right)}\)
\(\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{4\left(x+y\right)}+\frac{\left(y+z\right)^2}{4\left(y+z\right)}+\frac{\left(z+x\right)^2}{4\left(z+x\right)}\)
\(=\frac{x+y}{4}+\frac{y+z}{4}+\frac{z+x}{4}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{4}\)
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
22 tháng 5 2021
Ta có bất đẳng thức: \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{8}{\left(a+b\right)^2}\)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(a=b\).
Áp dụng ta được:
\(A=\frac{1}{\left(x+1\right)^2}+\frac{4}{\left(y+2\right)^2}+\frac{8}{\left(z+3\right)^2}=\frac{1}{\left(x+1\right)^2}+\frac{1}{\frac{\left(y+2\right)^2}{2^2}}+\frac{8}{\left(z+3\right)^2}\)
\(\ge\frac{8}{\left(x+1+\frac{y+2}{2}\right)^2}+\frac{8}{\left(z+3\right)^2}\ge\frac{64}{\left(x+\frac{y}{2}+z+5\right)^2}=\frac{256}{\left(2x+y+2z+10\right)^2}\)
Ta có: \(2x+4y+2z\le x^2+1+y^2+4+z^2+1=x^2+y^2+z^2+6\le3y+6\)
\(\Rightarrow2x+y+2z\le6\)
Suy ra \(A\ge\frac{256}{\left(6+10\right)^2}=1\)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=z=1,y=2\).
3 tháng 5 2018
Ta có :
\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(1.x+1.y+1.z\right)^2\) (Bunhia)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\le3.4=12\)
\(\Rightarrow-2\sqrt{3}\le x+y+z\le2\sqrt{3}\)
5 tháng 6 2018
Bạn trên làm sai r. X+y+z ko âm cơ mà sao lại có gtnn là -2√3??
\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz=2\)
Mà \(xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\frac{4}{3}\)
Tương tự: \(x^4+y^4+z^4\ge\left(x^2+y^2+z^2\right).\frac{1}{3}\ge\frac{16}{27}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 2/3