Question

[tran huu dinh]

Cho a,b,c là các số thực dương thõa : a+b+c=3

CMR: \(\frac{3+a^2}{b+c}+\frac{3+b^2}{c+a}+\frac{3+c^2}{a+b}\ge6\)

CÁC BẠN ZẢI NHANH ZÚP

Answer 1

[Đinh Đức Hùng]

Ta có : \(\frac{3+a^2}{b+c}+\frac{3+b^2}{c+a}+\frac{3+c^2}{a+b}=\frac{3}{b+c}+\frac{3}{c+a}+\frac{3}{a+b}+\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\)

Ta cầm chứng minh : \(\hept{\begin{cases}\frac{3}{a+b}+\frac{3}{a+c}+\frac{3}{b+c}\ge\frac{9}{2}\left(1\right)\\\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{3}{2}\left(2\right)\end{cases}}\)

Ta có bđt (1) \(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{b+c}\ge\frac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\ge9\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(a+c\right)\right]\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\ge9\)

Áp dụng bđt AM GM ta có :

\(\hept{\begin{cases}\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(a+c\right)\ge3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}\\\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}}\end{cases}}\)

Nhân vế với vế ta được đpcm ; Vậy bđt (1) đc chứng minh

Ta có \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}\) 

Vậy bđt (2) đc chứng minh

Do 2 bất đẳng thức dước chứng minh

\(\Rightarrow\frac{3+a^2}{b+c}+\frac{3+b^2}{a+c}+\frac{3+c^2}{a+b}\ge\frac{3}{2}+\frac{9}{2}=6\) (ĐPCM)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)