Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.G là trọng tâm của tam giác ABC. M là trung điểm của BC.a) Chứng minh: \(OA\perp EF\). Tìm kết quả tương tự.b) Chứng minh: \(OM=\frac{1}{2}AH\).Tìm kết quả tương tự.c) Chứng minh: H, G, O thẳng hàngd) EF cắt (O) lần lượt tại P và Q. Chứng minh: \(AP^2=AQ^2=2.OM.AD\)e) Chứng minh: \(\frac{1}{AH^2}+\frac{1}{BC^2}=\frac{1}{EF^2}\)f) Chứng...
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
G là trọng tâm của tam giác ABC. M là trung điểm của BC.
a) Chứng minh: \(OA\perp EF\). Tìm kết quả tương tự.
b) Chứng minh: \(OM=\frac{1}{2}AH\).Tìm kết quả tương tự.
c) Chứng minh: H, G, O thẳng hàng
d) EF cắt (O) lần lượt tại P và Q. Chứng minh: \(AP^2=AQ^2=2.OM.AD\)
e) Chứng minh: \(\frac{1}{AH^2}+\frac{1}{BC^2}=\frac{1}{EF^2}\)
f) Chứng minh: \(AE.BF.CD=AF.BD.CE=EF.DE.DF\)
g) Chứng minh: \(\left(DE+DF+EF\right).R=AD.BC\)
h) Gọi N là giao điểm của (O) với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF. Chứng minh: H, M, N thẳng hàng
i) Chứng minh: AN, EF, BC đồng quy
k) Chứng minh: OA, OB, OC, OD, OE, OF chia tam giác ABC thành 3 cặp tam giác có diện tich bằng nhau
a) Kẻ đường thẳng Ax tiếp xúc với đường tròn (O) tại A.
Khi đó \(\widehat{FAx}=\widehat{ACB}\) (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung)
Ta dễ thấy BFEC là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat{AFE}=\widehat{ACB}\)
Vậy nên \(\widehat{AFE}=\widehat{FAx}\), chúng lại ở vị trí so le trong nên Ax // EF
Mà \(Ax\perp OA\Rightarrow EF\perp OA\)
Tương tự ta có : \(FD\perp OB;ED\perp OC\)
b) Kẻ đường kính CI. Khi đó ta có ngay IB // AH (Cùng vuông góc BC) ; IA // BH (Cùng vuông góc AC). Vậy nên tứ giác AIBH là hình bình hành và AH = IB.
Xét tam giác IBC có M là trung điểm BC, OC = OB nên OM là đường trung bình. Vậy \(OM=\frac{1}{2}IB\Rightarrow OM=\frac{1}{2}AH\)
Tương tự, gọi N, P lần lượt là trung điểm AB, AC thì \(ON=\frac{1}{2}BH;OP=\frac{1}{2}CH\)
c) Gọi G' là giao điểm của AM và HO.
Ta thấy OM // AH nên áp dụng định lý Ta let ta có:
\(\frac{MG'}{G'A}=\frac{OM}{AH}=\frac{1}{2}\)
Độ ẨM là đường trung tuyến, AG' = G'M nên G' là trọng tâm tam giác ABC hay G' trùng G. Vậy H, G, O thẳng hàng.
d) Gọi giao điểm của OA với PQ là J. Khi đó J là trung điểm QP.
Xét tam giác APQ có AJ là đường cao đồng thời trung tuyến nên nó là tam giác cân.
Vậy thì AP = AQ hay AP2 = AQ2. (1)
Kẻ đường kính AX.
Xét tam giác vuông AQX, đường cao QJ, ta có:
\(AQ^2=AJ.AX\) (2)
Tứ giác BFEC nội tiếp nên \(\widehat{AFJ}=\widehat{ACB}=\widehat{AXB}\)
Suy ra \(\Delta AFJ\sim\Delta AXB\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AF}{AX}=\frac{AJ}{AB}\Rightarrow AJ.AX=AF.AB\)
Ta cũng có \(\Delta AFH\sim\Delta ADB\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AF}{AD}=\frac{AH}{AB}\Rightarrow AD.AH=AF.AB\)
Vậy thì \(AJ.AX=AH.AD\) hay \(AJ.AX=2.OM.AD\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra AP2 = AQ2 = 2OM.AD