Question

[nguyễn minh huy]

Cho p,q là hai số nguyên tố lớn hơn 5:

a) Tìm số dư khi chia 2018^p - 2017^q cho 3.

b) CMR:   \(\frac{3p^5+5p^3+7p}{15}\)là số nguyên.

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Quý]

ta có : 2018^p \(\equiv\)2^p (mod 3) 

Vì là SNT > 5 => p lẻ

=> 2^p \(\equiv\)2 (mod 3)

2017^q \(\equiv\)1 (mod 3)

=> 2018^p - 2017^q \(\equiv\)2 - 1 = 1 (mod 3)

Vậy 2018^p - 2017^q chia 3 dư 1

b) xét số dư khi chia p cho 3 => p có 2 dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2

+ p = 3k + 1 => 3p⁵ \(⋮\)3 ; 5p³ \(\equiv\)2 (mod 3) ; 7p \(\equiv\)1 (mod 3) => (3p⁵ + 5p³ + 7p ) \(⋮\)3

+ p = 3k + 1 => 3p⁵ \(⋮\)3 ; 5p³ \(\equiv\)1(mod 3) ; 7p \(\equiv\)2 (mod 3) => (3p⁵ + 5p³ + 7p ) \(⋮\)3

Vậy 3p⁵ + 5p³ + 7p \(⋮\)3 (1)

Xét số dư khi chia p cho 5 => p có 4 dạng 5k+1;5k+2;5k+3;5k+4

+ p = 5k + 1 => 3p⁵ \(\equiv\)3 (mod 5) ; 5p³ \(⋮\) 5 ; 7p\(\equiv\)7 (mod 5) =>(3p⁵ + 5p³ + 7p ) \(⋮\)5

 + p = 5k + 2 => 3p⁵ \(\equiv\)1 (mod 5) ; 5p³ \(⋮\) 5 ; 7p\(\equiv\)4 (mod 5) =>(3p⁵ + 5p³ + 7p ) \(⋮\)5                                                                                                    

+ p = 5k + 3 => 3p⁵ \(\equiv\)4 (mod 5) ; 5p³ \(⋮\) 5 ; 7p\(\equiv\)1 (mod 5) =>(3p⁵ + 5p³ + 7p ) \(⋮\)5

+ p = 5k + 4 => 3p⁵ \(\equiv\) 2(mod 5) ; 5p³ \(⋮\) 5 ; 7p\(\equiv\)3 (mod 5) =>(3p⁵ + 5p³ + 7p ) \(⋮\)5

Vậy 3p⁵ + 5p³ + 7p \(⋮\)5 (2)

Từ (1) và (2) và (3;5) = 1 =>  3p⁵ + 5p³ + 7p \(⋮\)15 

=> \(\frac{3p^5+5p^3+7b}{15}\)là số nguyên (đpcm)