Question

[Nguyễn Thị Thanh Huyền]

Cho(O;R) và tam giác ABC nội tiếp đường tròn (AC>AB). Các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn O lần lượt tại M,N,P. Kẻ đường kính AK của O.gọi I là trung điểm của BC

Chứng minh :

a)AH=2OI

b)B,F,C,E cùng thuộc một đường tròn 

c)EF song song với NP

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

ABCDMENHFPOIK

a/

\(\hat{ACK}=90^{o}\) (góc nt chắn nửa đường tròn) => CK⊥AC

BH⊥AC

=> BH//CK (cùng ⊥AC) (1)

\(\hat{ABK}=90^{o}\) (góc nt chắn nửa đường tròn) => BK⊥AB

CH⊥AB

=> CH//BK (cùng ⊥AB) (2)

Từ (1) và (2) => BHCK là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một)

Do I là trung điểm BC => I là trung điểm của HK (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Xét △AHK

OK=OA=R; IK=IH => OI là đường trung bình của △AHK

=> \(OI=\frac{AH}{2}\rArr AH=2OI\)

b/

Ta có F và E cùng nhìn BC dưới 2 góc = nhau và \(=90^{o}\)

=> F và E cùng nằm trên đường tròn đường kính BC

=> B; F; C; E cùng nằm trên 1 đường tròn

c/ Xét tứ giác nt BFEC có

\(\hat{CFE}=\hat{CBN}\) (Góc nt cùng chắn cung CE)

Xét (O)

\(\hat{CBN}=\hat{CPN}\) (Góc nt cùng chắn cung CN)

\(\rArr\hat{CFE}=\hat{CPN}\)

Hai góc trên ở vị trí đồng vị => EF//NP