Question

[Natsumi]

Tìm giá trị lớn nhất của:

\(A=\frac{x^2-xy+y^2}{x^2-2xy+y^2}\)

\(B=\frac{x}{\left(x+2000\right)^2}\)

\(C=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}\)

Answer 1

[Mr Lazy]

\(A=\frac{x^2-xy+y^2}{x^2-2xy+y^2}\). ĐK: \(x\ne y\)

(Thật ra A không có giá trị lớn nhất, chỉ cần thay x, y sao cho x-y rất nhỏ, ví dụ x-y=0,000000001 là thấy A rất lớn, sau đây là một cách chứng minh)

+Nếu y = 0 thì \(A=\frac{x^2}{x^2}=1\text{ (với }x\ne0\text{)}\)

+Xét y khác 0;

\(A=\frac{\left(\frac{x}{y}\right)^2-\frac{x}{y}+1}{\left(\frac{x}{y}\right)^2-2\frac{x}{y}+1}\). Đặt \(\frac{x}{y}=t;\text{ }t\ne1\)

\(A=\frac{t^2-t+1}{t^2-2t+1}\)\(\Leftrightarrow A\left(t^2-2t+1\right)=t^2-t+1\)

\(\Leftrightarrow\left(A-1\right)t^2+\left(1-2A\right)t+A-1=0\text{ (1)}\)

+Nếu A = 1 thì \(0+\left(1-2.1\right)t+1-1=0\Rightarrow t=0\Rightarrow\frac{x}{y}=0\Rightarrow x=0\)

+Xét \(x\ne0\Rightarrow A\ne1\)

Khi đó, (1) là phương trình bậc 2 ẩn t, tham số A. Để tồn tại (x,y) thì (1) phải có nghiệm 

\(\Leftrightarrow\Delta=\left(1-2A\right)^2-4\left(A-1\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow4A-3\ge0\Leftrightarrow A\ge\frac{3}{4}\).

=> A không có GTLN; A có thể có GTNN là 3/4 (cần thay lại để chắc rằng A = 3/4 tại t khác 1. Nếu A = 3/4 tại t = 1 thì A không có GTNN do không xảy ra dấu "=")

2 câu b, c làm tương tự (nhân lên, xét delta)

Riêng câu b còn có thể làm như sau:

\(B=\frac{x}{\left(x+2000\right)^2}\text{ }\left(x\ne-2000\right)\)

+Nếu x < 0 thì B < 0

+Xét x > 0

\(x+2000\ge2\sqrt{2000x}=40\sqrt{5}\sqrt{x}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{\left(x+2000\right)^2}\le\frac{x}{\left(40\sqrt{5}\sqrt{x}\right)^2}=\frac{1}{8000}\)

Dấu "=" xảy ra khi x = 2000.

KL: GTLN của B là 1/8000.