Cho x,y,z là ba số thực thỏa mãn 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧 = 18. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 𝐵 = 𝑥^2 + 𝑦^2 + 𝑧^2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
14 tháng 1 2021
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM:
\(P\ge3\sqrt[3]{\dfrac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}}\).
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
\(xy+1=xy+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{xy}{4^4}}\).
Tương tự: \(yz+1\ge5\sqrt[5]{\dfrac{yz}{4^4}};zx+1\ge5\sqrt[5]{\dfrac{zx}{4^4}}\).
Do đó \(\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)\ge125\sqrt[5]{\dfrac{\left(xyz\right)^2}{4^{12}}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}\ge125\sqrt[5]{\dfrac{1}{4^{12}\left(xyz\right)^3}}\).
Mà \(xyz\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^3}{27}=\dfrac{1}{8}\)
Nên \(\dfrac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}\ge125\sqrt[5]{\dfrac{8^3}{4^{12}}}=125\sqrt[5]{\dfrac{1}{2^{15}}}=\dfrac{125}{8}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{15}{2}\).
Vậy...
HN
17 tháng 1 2021
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM:
P≥33√(xy+1)(yz+1)(zx+1)xyz.
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
xy+1=xy+14+14+14+14≥55√xy44.
Tương tự: yz+1≥55√yz44;zx+1≥55√zx44.
Do đó (xy+1)(yz+1)(zx+1)≥1255√(xyz)2412
⇒(xy+1)(yz+1)(zx+1)xyz≥1255√1412(xyz)3.
Mà xyz≤(x+y+z)327=18
Nên (xy+1)(yz+1)(zx+1)xyz≥1255√83412=1255√1215=1258
⇒P≥152.
NB
1
TN
29 tháng 7 2017
Ta có: \(\sqrt{x^2+xy+y^2}=\sqrt{x^2+xy+\frac{y^2}{4}+\frac{3y^2}{4}}=\sqrt{\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}}\)
Tương tự ta viết lại A và áp dụng BĐT Mipcopxki :
\(A=\sqrt{\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}}+\sqrt{\left(y+\frac{z}{2}\right)^2+\frac{3z^2}{4}}+\sqrt{\left(z+\frac{x}{2}\right)^2+\frac{3x^2}{4}}\)
\(=\sqrt{\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}y}{2}\right)^2}+\sqrt{\left(y+\frac{z}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}z}{2}\right)^2}+\sqrt{\left(z+\frac{x}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}x}{2}\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(\frac{3\left(x+y+z\right)}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}\left(x+y+z\right)}{2}\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(\frac{3\cdot3}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}\cdot3}{2}\right)^2}=\sqrt{27}\)
Xảy ra khi x=y=z=1
NT
2
3 tháng 11 2016
1/ x + y + z = 3. Tìm Max P = xy + yz + xz
Ta có: (x - y)² ≥ 0 <=> x² - 2xy + y² ≥ 0 <=> x² + y² ≥ 2xy
hay 2xy ≤ x² + y² , dấu " = " xảy ra <=> x = y
tương tự:
+) 2yz ≤ y² + z²
+) 2xz ≤ x² + z²
cộng 3 vế của 3 bđt trên
--> 2xy + 2yz + 2xz ≤ 2(x² + y² + z²)
--> xy + yz + xz ≤ x² + y² + z²
--> xy + yz + xz + 2xy + 2yz + 2xz ≤ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz
--> 3(xy + yz + xz) ≤ (x + y + z)²
--> 3(xy + yz + xz) ≤ 3²
--> xy + yz + xz ≤ 3
Vậy MaxP = 3 ; Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
2/ x² + ax + bc = 0 (1)
x² + bx + ac =0 (2)
Gọi x1 ; x2 là 2 nghiệm của pt (1) và x1 ; x3 là 2 nghiệm của pt (2)
x1 là nghiệm chung của 2 pt
x1 là nghiệm của (1) --> (x1)² + a(x1) + bc = 0
x1 là nghiệm của (2) --> (x1)² + b(x1) + ac = 0
trừ vế với vế 2 pt trên, ta được: (x1).(a - b) + c(b - a) = 0
<=> (x1).(a - b) = c(a - b)
<=> x1 = c
thay vào (1) ta có: c² + ac + bc = 0
--> c + a + b = 0 (do c ≠ 0 nên chia cả 2 vế cho c)
--> a = - b - c ; b = - a - c ; a + b = -c
thay a = - b - c vào (1):
--> x² - (b + c)x + bc = 0 (1')
Áp dụng Viet, ta có: x1 + x2 = b + c ; mà x1 = c --> x2 = b
tương tự, thay b = - a - c vào (2):
--> x² - (a + c)x + ac = 0 (2')
Áp dụng Viet: x1 + x3 = a + c ; mà x1 = c --> x3 = a
Vậy
{ x2 + x3 = a + b
{ x2.x3 = ab
Theo định lý Viet đảo thì x2 và x3 là 2 nghiệm của pt:
x² - (a + b)x + ab =0
<=> x² + cx + ab =0 (do a + b = -c theo CM trên) --> ĐPCM
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
3/ Cho P(x) = x³ + ax² + bx + c . Giả sử P(1) = 5 ; P(2) = 10 . tính [P(12) - P(-9)] / 105
Đặt Q(x) = P(x) - 5x
Ta có:
Q(1) = P(1) - 5.1 = 5 - 5 = 0 --> x = 1 là 1 nghiệm của Q(x)
Q(2) = P(2) - 5.2 = 10 - 10 = 0 --> x = 2 cũng là 1 nghiệm của Q(x)
Do P(x) là đa thức bậc 3 --> Q(x) = P(x) - 5x cũng là đa thức bậc 3
--> Q(x) có 3 nghiệm, mà 2 nghiệm đã biết ở trên là x = 1 ; x = 2
Q(x) được biểu diễn dưới dạng:
Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m)
mà Q(x) = P(x) - 5x
--> P(x) = Q(x) + 5x
--> P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m) + 5x
P(12) = (12 - 1)(12 - 2)(12 - m) + 5.12 = 11.10.(12 - m) + 60
P(-9) = (-9 - 1)(-9 - 2)(-9 - m) + 5.(-9) = -10.11.(9 + m) - 45
--> [ P(12) - P(-9) ] / 105
= [ 11.10.(12 - m) + 60 + 10.11.(9 + m) + 45 ] / 105
= [ 11.10(12 - m + 9 + m) + 105) ] / 105
= (10.11.21 + 105) / 105
= (2.5.11.21 + 105) / 105
= (2.11.105 + 105) / 105
= 22 + 1 = 23
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
31 tháng 10 2016
a)
Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:
(x² + y² + z²)(1 + 1 + 1)
= (x² + y² + z²)(1² + 1² + 1²) ≥ (x + y + z)²
<--> (x² + y² + z²)(1² + 1² + 1²) ≥ 3² = 9
<--> 3(x² + y² + z²) ≥ 9
<--> x² + y² + z² ≥ 3
--> M ≥ 3
--> min M = 3 khi x = y = z = 1
b)
Ta có: (x - y)² ≥ 0 <=> x² - 2xy + y² ≥ 0 <=> x² + y² ≥ 2xy
hay 2xy ≤ x² + y² , dấu " = " xảy ra <=> x = y
tương tự:
+) 2yz ≤ y² + z²
+) 2xz ≤ x² + z²
cộng 3 vế của 3 bđt trên
--> 2xy + 2yz + 2xz ≤ 2(x² + y² + z²)
--> xy + yz + xz ≤ x² + y² + z²
--> xy + yz + xz + 2xy + 2yz + 2xz ≤ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz
--> 3(xy + yz + xz) ≤ (x + y + z)²
--> 3(xy + yz + xz) ≤ 3²
--> xy + yz + xz ≤ 3
Vậy MaxP = 3 ; Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
2/ x² + ax + bc = 0 (1)
x² + bx + ac =0 (2)
Gọi x1 ; x2 là 2 nghiệm của pt (1) và x1 ; x3 là 2 nghiệm của pt (2)
x1 là nghiệm chung của 2 pt
x1 là nghiệm của (1) --> (x1)² + a(x1) + bc = 0
x1 là nghiệm của (2) --> (x1)² + b(x1) + ac = 0
trừ vế với vế 2 pt trên, ta được: (x1).(a - b) + c(b - a) = 0
<=> (x1).(a - b) = c(a - b)
<=> x1 = c
thay vào (1) ta có: c² + ac + bc = 0
--> c + a + b = 0 (do c ≠ 0 nên chia cả 2 vế cho c)
--> a = - b - c ; b = - a - c ; a + b = -c
thay a = - b - c vào (1):
--> x² - (b + c)x + bc = 0 (1')
Áp dụng Viet, ta có: x1 + x2 = b + c ; mà x1 = c --> x2 = b
tương tự, thay b = - a - c vào (2):
--> x² - (a + c)x + ac = 0 (2')
Áp dụng Viet: x1 + x3 = a + c ; mà x1 = c --> x3 = a
Vậy
{ x2 + x3 = a + b
{ x2.x3 = ab
Theo định lý Viet đảo thì x2 và x3 là 2 nghiệm của pt:
x² - (a + b)x + ab =0
<=> x² + cx + ab =0 (do a + b = -c theo CM trên) --> ĐPCM
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
3/ Cho P(x) = x³ + ax² + bx + c . Giả sử P(1) = 5 ; P(2) = 10 . tính [P(12) - P(-9)] / 105
Đặt Q(x) = P(x) - 5x
Ta có:
Q(1) = P(1) - 5.1 = 5 - 5 = 0 --> x = 1 là 1 nghiệm của Q(x)
Q(2) = P(2) - 5.2 = 10 - 10 = 0 --> x = 2 cũng là 1 nghiệm của Q(x)
Do P(x) là đa thức bậc 3 --> Q(x) = P(x) - 5x cũng là đa thức bậc 3
--> Q(x) có 3 nghiệm, mà 2 nghiệm đã biết ở trên là x = 1 ; x = 2
Q(x) được biểu diễn dưới dạng:
Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m)
mà Q(x) = P(x) - 5x
--> P(x) = Q(x) + 5x
--> P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m) + 5x
P(12) = (12 - 1)(12 - 2)(12 - m) + 5.12 = 11.10.(12 - m) + 60
P(-9) = (-9 - 1)(-9 - 2)(-9 - m) + 5.(-9) = -10.11.(9 + m) - 45
--> [ P(12) - P(-9) ] / 105
= [ 11.10.(12 - m) + 60 + 10.11.(9 + m) + 45 ] / 105
= [ 11.10(12 - m + 9 + m) + 105) ] / 105
= (10.11.21 + 105) / 105
= (2.5.11.21 + 105) / 105
= (2.11.105 + 105) / 105
= 22 + 1 = 23
TV
2
30 tháng 8 2021
thêm x2 + y2 + z2 = 1 nha
HT nha vinh
KK
21 tháng 1 2017
Áp dụng BĐT Cô - si cho 3 bộ số không âm
\(\Rightarrow\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(xz+1\right)}+\frac{y\left(xz+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}\ge3\sqrt[3]{\frac{xyz\left(xy+1\right)^2\left(yz+1\right)^2\left(xz+1\right)^2}{x^2y^2z^2\left(yz+1\right)\left(xz+1\right)\left(xy+1\right)}}=3\sqrt[3]{\frac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(xz+1\right)}{xyz}}\)
Xét \(3\sqrt[3]{\frac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(xz+1\right)}{xyz}}\)
\(=3\sqrt[3]{\left(\frac{xy+1}{x}\right)\left(\frac{yz+1}{y}\right)\left(\frac{xz+1}{z}\right)}\)
\(=3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)}\)
Áp dụng BĐT Cô - si
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}y+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{\frac{y}{x}}\\z+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{z}{y}}\\x+\frac{1}{z}\ge2\sqrt{\frac{x}{z}}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)\ge8\)
\(\Rightarrow3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)}\ge3\sqrt[3]{8}\)
\(\Rightarrow3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)}\ge6\)
\(\Leftrightarrow3\sqrt[3]{\frac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(xz+1\right)}{xyz}}\ge6\)
Mà \(\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(xz+1\right)}+\frac{y\left(xz+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(xz+1\right)}{xyz}}\)
\(\Rightarrow\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(xz+1\right)}+\frac{y\left(xz+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}\ge6\)
Vậy GTNN của \(\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(xz+1\right)}+\frac{y\left(xz+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}=6\)
HV
2
SL
11 tháng 5 2017
\(\sqrt{2x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\le\frac{2x+y+z}{2}\)
cmtt => GTLN
12 tháng 5 2017
Tìm max:
Ta có:
\(\sqrt{2x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+xz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)
\(\le\frac{2x+y+z}{2}\left(1\right)\)
Tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\sqrt{2y+zx}\le\frac{2y+z+x}{2}\left(2\right)\\\sqrt{2z+xy}\le\frac{2z+x+y}{2}\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được
\(A\le\frac{2x+y+z}{2}+\frac{2y+z+x}{2}+\frac{2z+x+y}{2}=2\left(x+y+z\right)=4\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)
Tìm min:
Ta có: \(\hept{\begin{cases}\sqrt{2x+yz}\ge0\\\sqrt{2y+zx}\ge0\\\sqrt{2z+xy}\ge0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow A\ge0\)
Dấu = xảy ra khi \(\left(x,y,z\right)=\left(-2,2,2;2,-2,2;2,2,-2\right)\)
NH
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 12 2020
\(P=\dfrac{1}{xyz\left(x+y+z\right)}-\dfrac{2}{xy+yz+zx}\ge\dfrac{3}{\left(xy+yz+zx\right)^2}-\dfrac{2}{xy+yz+zx}\)
\(P\ge3\left(\dfrac{1}{xy+yz+zx}-\dfrac{1}{3}\right)^2-\dfrac{1}{3}\ge-\dfrac{1}{3}\)
\(P_{min}=-\dfrac{1}{3}\) khi \(x=y=z=1\)
31 tháng 10 2016
Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:
(x² + y² + z²)(1 + 1 + 1)
= (x² + y² + z²)(1² + 1² + 1²) ≥ (x + y + z)²
<--> (x² + y² + z²)(1² + 1² + 1²) ≥ 3² = 9
<--> 3(x² + y² + z²) ≥ 9
<--> x² + y² + z² ≥ 3
--> M ≥ 3
--> min M = 3 khi x = y = z = 1
31 tháng 10 2016
x + y + z = 3. Tìm Max P = xy + yz + xz
Ta có: (x - y)² ≥ 0 <=> x² - 2xy + y² ≥ 0 <=> x² + y² ≥ 2xy
hay 2xy ≤ x² + y² , dấu " = " xảy ra <=> x = y
tương tự:
+) 2yz ≤ y² + z²
+) 2xz ≤ x² + z²
cộng 3 vế của 3 bđt trên
--> 2xy + 2yz + 2xz ≤ 2(x² + y² + z²)
--> xy + yz + xz ≤ x² + y² + z²
--> xy + yz + xz + 2xy + 2yz + 2xz ≤ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz
--> 3(xy + yz + xz) ≤ (x + y + z)²
--> 3(xy + yz + xz) ≤ 3²
--> xy + yz + xz ≤ 3
Vậy MaxP = 3 ; Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 1
Với mọi x;y;z ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2\right)^2\ge0\\\left(y-2\right)^2\ge0\\\left(z-2\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge4\left(x+y+z\right)-12\) (1)
Đồng thời cũng có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)^2\ge0\\\left(y-z\right)^2\ge0\\\left(z-x\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Rightarrow4\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge4\left(xy+yz+zx\right)\)(2)
Cộng vế (1) và (2):
\(\Rightarrow5\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge4\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)-12=4.18-12=60\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{60}{5}=12\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=2\)