Chứng minh: \(\dfrac{3}{1^2\cdot2^2}\)+\(\dfrac{5}{2^2\cdot3^2}\)+...+\(\dfrac{19}{9^2\cdot10^2}\)<1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AP
0
DL
11
31 tháng 12 2018
BĐT Nesbitt nhé ko phải Nesbit đâu .V
Bđt đấy đây: Cho a,b,c dương
CMR: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
Giải
Ta có: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=\left(\frac{a}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b}{a+c}+1\right)+\left(\frac{c}{a+b}+1\right)-3\)
\(=\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{a+b}-3\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)-3\)
\(=\frac{1}{2}.\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)-3\)
Áp dụng bđt Cô-si cho 3 số dương được
\(\frac{1}{2}\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)-3\)
\(\ge\frac{1}{2}.3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}.3.\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}-3\)
\(=\frac{1}{2}.9.\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}-3\)
\(=\frac{9}{2}-3\)
\(=\frac{3}{2}\)
Dấu "='' xảy ra <=> a=b=c
Vậy ...........
T
31 tháng 12 2018
BĐT Nesbit: Với a,b,c dương:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
\(BĐT\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b}{c+a}+1\right)+\left(\frac{c}{a+b}+1\right)\ge\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow2\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge9\)
Dùng bất đẳng thức cô si hai lần vào vế trái sẽ có điều cần chứng minh.
CM
9 tháng 3 2017
Vì a ≥ 0 nên √a xác định, b ≥ 0 nên b xác định
Ta có: a - b 2 ≥ 0 ⇔ a - 2 a b + b ≥ 0
⇒ a + b ≥ 2 a b ⇔ a + b 2 ≥ a b
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b.
TM
4
TP
2
11 tháng 2 2021
Ta có BĐT cô si:\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)(1)
Mặt khác a,b là các số âm nên a+b<0 mà \(2\sqrt{ab}>0\)
\(\Rightarrow a+b< 2\sqrt{ab}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra vô lý
vậy...............
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 1 2022
Lời giải:
Bổ sung điều kiện $a,b$ là các số dương. Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
$a+b\geq 2\sqrt{ab}$
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq 2\sqrt{\frac{1}{ab}}$
$\Rightarrow (a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{\frac{1}{ab}}=4$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b$
8 tháng 5 2021
Ta có : \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+2ab\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
Có : \(a,b\ge0\)
\(\Rightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) ( đpcm )
Vậy ...
\(\dfrac{3}{1^2.2^2}+\dfrac{5}{2^2.3^2}+...+\dfrac{19}{9^2.10^2}\)
= \(\dfrac{3}{1.4.}+\dfrac{5}{4.9}+...+\dfrac{19}{81.100}\)
= \(1-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{9}+...+\dfrac{1}{81}+\dfrac{1}{100}\)
= \(1-\dfrac{1}{100}< 1\) (đpcm)
--------------------------------
Cho các số: a;b;c thuộc `N`; `c,b` khác `0` ta luôn có:
Nếu: `c-b = a` thì:
\(\dfrac{a}{b.c}=\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\)