Tính \(A=\dfrac{\left(2^3+1\right)\left(3^3+1\right)...\left(100^3+1\right)}{\left(2^3-1\right)\left(3^3-1\right)...\left(100^3-1\right)}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
DT
Đinh Thị Huyền
Giáo viên
14 tháng 6
Đúng(3)
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 2 2021
Áp dụng \(1+2+...+n=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{n}\left(1+2+...+n\right)=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2n}=\dfrac{n+1}{2}\)
Vậy:
\(A=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}+\dfrac{4}{2}+...+\dfrac{101}{2}=\dfrac{1+2+3+...+100}{2}-1\)
\(=\dfrac{100.101}{2}-1=5049\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
24 tháng 11 2017
Lời giải:
Ta có:
\(A=\frac{(2^3+1)(3^3+1)(4^3+1)...(100^3+1)}{(2^3-1)(3^3-1).....(100^3-1)}\)
\(=\frac{(2+1)(2^2-2+1)(3+1)(3^2-3+1).....(100+1)(100^2-100+1)}{(2-1)(2^2+2+1)(3-1)(3^2+3+1)...(100-1)(100^2+100+1)}\)
\(=\frac{3.4...101(2^2-2+1)(3^2-3+1)...(100^2-100+1)}{1.2.3..99(2^2+2+1)(3^2+3+1)...(100^2+100+1)}\)
\(=\frac{100.101}{2}.\frac{(2^2-2+1)(3^2-3+1)....(100^2-100+1)}{(2^2+2+1)(3^2+3+1)...(100^2+100+1)}\)
Xét: \(a^2+a+1=(a+1)^2-a=(a+1)^2-(a+1)+1\)
Do đó:
\(\left\{\begin{matrix} 2^2+2+1=3^2-3+1\\ 3^2+3+1=4^2-4+1\\ ....\\ 99^2+99+1=100^2-100+1\\ \end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow A=\frac{100.101}{2}.\frac{2^2-2+1}{100^2+100+1}=5050.\frac{3}{10101}\)
\(A< 5050.\frac{3}{10100}=\frac{5050}{10100}.3=\frac{3}{2}\)
Vậy \(A< \frac{3}{2}\) hay \(A< B\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 3 2023
Ta có:
\(1-\dfrac{1}{1+2+...+n}=1-\dfrac{1}{\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}}=\dfrac{n\left(n+1\right)-2}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{\left(n-1\right)\left(n+2\right)}{n\left(n+1\right)}\)
\(\Rightarrow S=\dfrac{1.4}{2.3}.\dfrac{2.5}{3.4}.\dfrac{3.6}{4.5}...\dfrac{99.102}{100.101}\)
\(=\dfrac{1.2.3...99}{2.3.4...100}.\dfrac{4.5.6...102}{3.4.5...101}=\dfrac{1}{100}.\dfrac{102}{3}=\dfrac{17}{50}\)
NT
Nguyễn Thị Thương Hoài
Giáo viên
VIP
18 tháng 11 2023
A = - 522 - { - 222 - [ - 122 - (100 - 522) + 2022] }
A = - 522 - { -222 - [- 122 - 100 + 522 ] + 2022}
A = - 522 - { -222 - { - 222 + 522 } + 2022}
A = - 522 - {- 222 + 222 - 522 + 2022}
A = -522 + 522 - 2022
A = - 2022
NT
Nguyễn Thị Thương Hoài
Giáo viên
VIP
18 tháng 11 2023
B = 1 + \(\dfrac{1}{2}\)(1 + 2) + \(\dfrac{1}{3}\).(1 + 2 + 3) + ... + \(\dfrac{1}{20}\).(1 + 2+ 3 + ... + 20)
B = 1+\(\dfrac{1}{2}\)\(\times\)(1+2)\(\times\)[(2-1):1+1]:2+ ... + \(\dfrac{1}{20}\)\(\times\) (20 + 1)\(\times\)[(20-1):1+1]:2
B = 1 + \(\dfrac{1}{2}\) \(\times\) 3 \(\times\) 2:2 + \(\dfrac{1}{3}\) \(\times\)4 \(\times\) 3 : 2+....+ \(\dfrac{1}{20}\) \(\times\)21 \(\times\) 20 : 2
B = 1 + \(\dfrac{3}{2}\) + \(\dfrac{4}{2}\) + ....+ \(\dfrac{21}{2}\)
B = \(\dfrac{2+3+4+...+21}{2}\)
B = \(\dfrac{\left(21+2\right)\left[\left(21-2\right):1+1\right]:2}{2}\)
B = \(\dfrac{23\times20:2}{2}\)
B = \(\dfrac{23\times10}{2}\)
B = 23
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 9 2018
Lời giải:
Xét thừa số tổng quát:
\(1-\frac{1}{1+2+...+n}=1-\frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}}=1-\frac{2}{n(n+1)}=\frac{n(n+1)-2}{n(n+1)}\)
\(=\frac{n^2-1+n-1}{n(n+1)}=\frac{(n-1)(n+2)}{n(n+1)}\)
Do đó:
\(A=\frac{1.4}{2.3}.\frac{2.5}{3.4}.\frac{3.6}{4.5}....\frac{99.102}{100.101}\)
\(=\frac{(1.2.3...99)(4.5.6...102)}{(2.3.4...100)(3.4.5..101)}=\frac{1}{100}.\frac{102}{3}=\frac{102}{300}\)
4 tháng 3 2021
Ta thấy \(1-\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\left(n-1\right)\left(n+1\right)}{n^2}\) với mọi \(n>0\).
Từ đó \(\left(1-\dfrac{1}{2^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3^2}\right)...\left(1-\dfrac{1}{100^2}\right)=\dfrac{1.3}{2^2}.\dfrac{2.4}{3^2}...\dfrac{99.101}{100}=\left(\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}...\dfrac{99}{100}\right).\left(\dfrac{3}{2}.\dfrac{4}{3}...\dfrac{101}{100}\right)=\dfrac{1}{100}.\dfrac{101}{2}=\dfrac{101}{200}\).
11 tháng 7 2018
\(S=1+\dfrac{1}{2}\left(1+2\right)+\dfrac{1}{3}\left(1+2+3\right)+\dfrac{1}{4}\left(1+2+3+4\right)+...+\dfrac{1}{100}\left(1+2+3+...+100\right)\)
\(=1+\dfrac{1}{2}.\dfrac{2\left(1+2\right)}{2}+\dfrac{1}{3}.\dfrac{3\left(1+3\right)}{2}+\dfrac{1}{4}.\dfrac{4\left(1+4\right)}{2}+...+\dfrac{1}{100}.\dfrac{100\left(1+100\right)}{2}\)
\(=1+\dfrac{2\left(1+2\right)}{2.2}+\dfrac{3\left(1+3\right)}{2.3}+\dfrac{4\left(1+4\right)}{2.4}+...+\dfrac{100\left(1+100\right)}{2.100}\)
\(=1+\dfrac{1+2}{2}+\dfrac{1+3}{2}+\dfrac{1+4}{2}+...+\dfrac{1+100}{2}\)
\(=1+\dfrac{3+4+5+...+101}{2}\)
\(=1+\dfrac{\dfrac{99\left(101+3\right)}{2}}{2}\)
\(=1+2574=2575\)
\(\)