tìm n thuộc N* để C=\(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+\sqrt{n+2}}\) nguyên
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CT
4
9 tháng 7 2016
1./ Với mọi n thuộc N* thì: (1):\(\sqrt{n}+2>\sqrt{n}-2\Rightarrow\sqrt[3]{\sqrt{n}+2}>\sqrt[3]{\sqrt{n}-2}\Rightarrow A=\sqrt[3]{2+\sqrt{n}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{n}}>0\forall n\in N\cdot\)
2./ \(A^3=2+\sqrt{n}+2-\sqrt{n}+3\sqrt[3]{\left(2-\sqrt{n}\right)\left(2+\sqrt{n}\right)}\cdot\left(\sqrt[3]{2+\sqrt{n}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{n}}\right)\)
\(A^3=4+3\sqrt[3]{4-n}\cdot A\)(2)
Do A thuộc N* mà A khác 0 (từ (1)) nên từ (2): \(\sqrt[3]{4-n}=\frac{A^3-4}{3A}\)là 1 số hữu tỷ. Hay: \(\sqrt[3]{4-n}=m\left(m\in Q\right)\Rightarrow n=4-m^3\).(Do n >=0 thuộc n => \(m\le\sqrt[3]{4}\); m thuộc Z) (*)
(2) trở thành: \(A^3-3m\cdot A-4=0\)(3)
Để (3) có nghiệm A tự nhiên thì A phải là ước tự nhiên của hệ số tự do ( -4). => A = 1; 2; 4.
- A = 1 => m = -1 ( TM (*) ) => n = 4 - (-1)3 = 5
- A = 2 => m = 8/6 không thuộc Z. Loại
- A = 4 => m = 5 ( không TM (*) ). Loại
Vậy, chỉ có duy nhất n = 5 (Thuộc N*) thì A = 1 thuộc N*.
MT
9 tháng 7 2016
\(A=\sqrt[3]{2+\sqrt{n}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{n}}\)
=>A3\(=4+3\sqrt[3]{\left(2+\sqrt{n}\right).\left(2-\sqrt{n}\right)}\left(\sqrt[3]{2+\sqrt{n}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{n}}\right)\)
\(\Leftrightarrow A^3=4+3\sqrt[3]{4-n}.A\)
<=>\(\frac{A^3-4}{A}=3\sqrt[3]{4-n}\)
<=>\(\left(A^2-\frac{4}{A}\right)^3=27.\left(4-n\right)\)(1)
Vì n thuộc N* nên: 27.(4-n) thuộc Z
=>\(\left(A^2-\frac{4}{A}\right)^3\)thuộc Z
=> \(A^3-\frac{4}{A}\)thuộc Z
=>A thuộc Ư(4)={1;-1;2;-2;4;-4}
Mà A thuộc N* nên: A=1;2;4
Với A=1 => PT(1) trở thành: -27=27.(4-n) =>n=5 (nhận)
Với A=2 =>PT(1) trở thành: 8=27.(4-n) =>n=100/27 (loại)
Với A=4 => PT(1) trở thành: 3375=27.(4-n) =>n=-121 (loại)
Vậy n=5
20 tháng 5 2019
a) Bất đẳng thức đúng khi a = b = 2c
do đó \(\sqrt{c\left(2c-c\right)}+\sqrt{c\left(2c-c\right)}\le n\sqrt{2c.2c}\Leftrightarrow n\ge1\)
xảy ra khi n = 1
Thật vậy, ta có :
\(\sqrt{\frac{c}{b}.\frac{a-c}{a}}+\sqrt{\frac{c}{a}.\frac{b-c}{b}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{b}+\frac{a-c}{a}+\frac{c}{a}+\frac{b-c}{b}\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\le\sqrt{ab}\)
Vậy n nhỏ nhất là 1
b) Ta có : a + b = \(\sqrt{\left(a+b\right)^2}\le\sqrt{\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2}=\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
Áp dụng, ta được : \(\sqrt{1}+\sqrt{n}\le\sqrt{2\left(n+1\right)},\sqrt{2}+\sqrt{n-1}\le\sqrt{2\left(1+n\right)},...\)
\(\sqrt{n}+\sqrt{1}\le\sqrt{2\left(1+n\right)};\sqrt{n-1}+\sqrt{2}\le\sqrt{2\left(1+n\right)},...\)
\(\sqrt{1}+\sqrt{n}\le\sqrt{2\left(1+n\right)}\)
do đó : \(4\left(\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{n}\right)\le2n\sqrt{2\left(1+n\right)}\)
\(\Rightarrow\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{n}\le n\sqrt{\frac{n+1}{2}}\)
HT
0
BF
0