Question

[73gyeggkhanh15]

Ký hiệu k! =1.2.3.....k ( k là số tự nhiên và k >1 ) Ví dụ: 4! = 1.2.3.4 Tìm số tự nhiên n khác 0 sao cho tổng T = 1! + 2! + 3! +....+n! là số chính phương

Answer 1

[Nguyễn Thị Thương Hoài]

 Đây là dạng toán nâng cao chuyên đề số chính phương, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng phương đánh giá như sau:

                         Giải:

 Nếu n = 1 ta có:

T = 1! = 1 = 1² (thỏa mãn) 

Nếu n = 2 ta có:

 = 1! + 2! = 1 + 1.2 = 3 (loại vì số chính phương không thể có tận cung là 3)

Nếu n = 3 ta có:

T = 1! + 2! + 3! = 1 + 1.2 + 1.2.3 = 9 = 3² (thỏa mãn)

Nếu n = 4 ta có:

T = 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33 (loại vì số chính phương không thể có tận cùng bằng 3)

Nếu n ≥ 5 ta có:

T = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + ... + n!

T = (1! + 2! + 3! + 4!) + 5!.(1 + 6 + 6.7 + 6.7.8 +...+ 6.7.8.9.....n)

T = 33 + 5!.(1 + 6 + 6.7 + 6.7.8 + ... + 6.7.8.9....n)

5! ⋮ 5 ⇒ 5!.(1 + 6 + 6.7 + 6.7.8 + ... + 6.7.8.9...n) ⋮ 5; 33 : 5 dư 3

⇒ T = 1! + 2! + 3! +... + n! : 5 dư 3 (loại vì số chính phương chia 5 chỉ có thể dư 1 hoặc 4)

Từ những lập luận trên ta có: n = 1; 3

Kết luận: Các số tự nhiên n thỏa mãn đề bài là: n \(\in\) {1; 3}