Question

[Phạm Phương Thảo]

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=a, AD=2a, AA'=a. Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác BCD đến mặt phẳng (A'BD)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Gọi O là giao điểm AC và BD \(\Rightarrow O\) là trung điểm BD và AC

Do G là trọng tâm tam giac BCD \(\Rightarrow OG=\dfrac{1}{3}OC=\dfrac{1}{3}OA\)

Mà \(GA\cap\left(A'BD\right)=O\Rightarrow d\left(G;\left(A'BD\right)\right)=\dfrac{1}{3}d\left(A;\left(A'BD\right)\right)\)

Trong mp (ABCD), từ A kẻ \(AH\perp BD\) 

Trong mp (A'AH), từ A kẻ \(AK\perp A'H\)

\(\Rightarrow AK\perp\left(A'BD\right)\Rightarrow AK=d\left(A;\left(A'BD\right)\right)\)

Hệ thức lượng tam giác vuông ABD:

\(AH=\dfrac{AB.AD}{\sqrt{AB^2+AD^2}}=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}\)

Hệ thức lượng trong tam giác vuông A'AH:

\(AK=\dfrac{A'A.AH}{\sqrt{A'A^2+AH^2}}=\dfrac{2a}{3}\)

\(\Rightarrow d\left(G;\left(A'BD\right)\right)=\dfrac{1}{3}AK=\dfrac{2a}{9}\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]