Question

[Nguyễn Gia Hân]

Cho đường tròn (O;R) và (O';r) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ BC là tiếp tuyến chung ngoài của 2 đtròn với B thuộc (O;R) và C thuộc (O';r), tiếp tuyến chung trong tại A của 2 đtròn cắt BC tại M                                                     a) CM: MB=MC và tam giác OMO' là tam giác vuông                                   b) Biết R=9cm, r=4cm. Tính độ dài BC                                                       c) CM: BC là tiếp tuyến của đtròn đường kính OO'

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét (O) có

MB,MA là các tiếp tuyến

Do đó: MB=MA và MO là phân giác của \(\widehat{BMA}\)

Xét (O') có

MA,MC là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MC và MO' là phân giác của \(\widehat{AMC}\)

Ta có: MB=MA

MA=MC

Do đó: MB=MC

=>M là trung điểm của BC

Xét ΔABC có

AM là đường trung tuyến

\(AM=\dfrac{BC}{2}\)

Do đó: ΔABC vuông tại A

b: Ta có: \(\widehat{BMC}=\widehat{BMA}+\widehat{CMA}\)

=>\(\widehat{BMC}=2\left(\widehat{OMA}+\widehat{O'MA}\right)\)

=>\(2\cdot\widehat{OMO'}=180^0\)

=>\(\widehat{OMO'}=90^0\)

Xét ΔOMO' vuông tại M có MA là đường cao

nên \(MA^2=OA\cdot O'A\)

=>\(MA=\sqrt{9\cdot4}=6\left(cm\right)\)

=>\(BC=2\cdot6=12\left(cm\right)\)

c: Gọi I là trung điểm của O'O

ΔOMO' vuông tại M

=>ΔO'MO nội tiếp đường tròn đường kính O'O

=>ΔO'MO nội tiếp (I)

Xét hình thang OBCO' có

M,I lần lượt là trung điểm của BC,O'O

Do đó: MI là đường trung bình của hình thang OBCO'

=>MI//OB//O'C

=>MI\(\perp\)BC

Xét (I) có

IM là bán kính

BC\(\perp\)IM tại M
Do đó:BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính O'O