Question

[Phan Hao Nhien]

\(\dfrac{2n+3}{4n+8}\)
  Chứng tỏ các phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n

Answer 1

[Toru]

Gọi \(ƯCLN\left(2n+3;4n+8\right)=d\)   \((d\in \mathbb{N^*})\)

Khi đó: \(\left\{{}\begin{matrix}2n+3 ⋮ d\\4n+8 ⋮ d\end{matrix}\right. \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(2n+3\right) ⋮ d\\4n+8 ⋮ d\end{matrix}\right. \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4n+6 ⋮ d\\4n+8 ⋮ d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(4n+8\right)-\left(4n+6\right) ⋮ d\)

\(\Rightarrow4n+8-4n-6⋮d\Rightarrow2⋮d\)

\(\Rightarrow d\inƯ\left(2\right)\Rightarrow d\in\left\{1;2;-1;-2\right\}\)

Mà \(d\in\mathbb{N^*}\Rightarrow d\in\{1;2\}\) (1)

Lại có: \(\begin{cases} 2n+3 \text{ lẻ với mọi } n\\ 2n+3\vdots d \end{cases}\Rightarrow d \text{ lẻ }\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow d=1\RightarrowƯCLN\left(2n+3;4n+8\right)=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{2n+3}{4n+8}\) là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

Gọi \(d=ƯC\left(2n+3;4n+8\right)\) với d nguyên dương

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+3⋮d\\4n+8⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow4n+8-2.\left(2n+3\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2⋮d\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}d=1\\d=2\end{matrix}\right.\) (1)

Lại có \(2n+3⋮d\) mà \(2n+3\) luôn lẻ

\(\Rightarrow d\) lẻ (2)

Từ (1),(2) \(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow2n+3\) và \(4n+8\) nguyên tố cùng nhau với mọi n tự nhiên

\(\Rightarrow\dfrac{2n+3}{4n+8}\) là phân số tối giản với mọi số tư nhiên n