Cho a, b, c, d > 0 thỏa mãn a + b + c + d = 4.
CMR : \(\frac{a}{1+b^2c}+\frac{b}{1+c^2d}+\frac{c}{1+d^2a}+\frac{d}{1+a^2b}\ge2\)
(Bài này phân tích dưới mẫu nhưng mà đoạn sau lại tương đối khó và mk cx chưa nghĩ ra)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giải:
Áp dụng BĐT AM - GM ta có:
\(\dfrac{a}{1+b^2c}=a-\dfrac{ab^2c}{1+b^2c}\ge a-\dfrac{ab^2c}{2b\sqrt{c}}\) \(=a-\dfrac{ab\sqrt{c}}{2}\)
\(\ge a-\dfrac{b\sqrt{a.ac}}{2}\ge a-\dfrac{b\left(a+ac\right)}{4}\) \(\ge a-\dfrac{1}{4}\left(ab+abc\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{1+b^2c}\ge a-\dfrac{1}{4}\left(ab+abc\right).\) Tượng tự ta cũng có:
\(\dfrac{b}{1+c^2d}\ge b-\dfrac{1}{4}\left(bc+bcd\right);\dfrac{c}{1+d^2a}\ge c-\dfrac{1}{4}\left(cd+cda\right);\dfrac{d}{1+a^2b}\ge d-\dfrac{1}{4}\left(da+dab\right)\)
Cộng theo vế 4 BĐT trên ta được:
\(\dfrac{a}{1+b^2c}+\dfrac{b}{1+c^2d}+\dfrac{c}{1+d^2a}+\dfrac{d}{1+a^2b}\)
\(\ge a+b+c+d-\dfrac{1}{4}\)\(\left(ab+bc+cd+da+abc+bcd+cda+dab\right)\)
Lại áp dụng BĐT AM - GM ta có:
\(ab+bc+cd+da\) \(\le\dfrac{1}{4}\left(a+b+c+d\right)^2=4\)
\(abc+bcd+cda+dab\) \(\le\dfrac{1}{16}\left(a+b+c+d\right)^3=4\)
Do đó:
\(\dfrac{a}{1+b^2c}+\dfrac{b}{1+c^2d}+\dfrac{c}{1+d^2a}+\dfrac{d}{1+a^2b}\)
\(\ge a+b+c+d-2=2\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=d=1\)
\(N=\frac{a}{1+b^2c}+\frac{b}{1+c^2d}+\frac{c}{1+d^2a}+\frac{d}{1+a^2b}\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(\frac{a}{1+b^2c}=a-\frac{ab^2c}{1+b^2c}\)
\(\ge a-\frac{ab^2c}{2b\sqrt{c}}=a-\frac{ab\sqrt{c}}{2}=a-\frac{b\sqrt{ac}\sqrt{a}}{2}\)
\(\ge a-\frac{b\left(ac+c\right)}{4}\).Suy ra \(\frac{a}{1+b^2c}\ge a-\frac{1}{4}\cdot\left(ab+abc\right)\)
Tương tự ta có:
\(\frac{b}{a+c^2d}\ge b-\frac{1}{4}\left(bc+bcd\right)\)
\(\frac{c}{1+d^2a}\ge c-\frac{1}{4}\left(cd+cda\right)\)
\(\frac{d}{1+a^2b}\ge d-\frac{1}{4}\left(da+dab\right)\)
Do đó: \(S=\frac{a}{1+b^2c}+\frac{b}{1+c^2d}+\frac{c}{1+d^2a}+\frac{d}{1+a^2b}\)
\(\ge a+b+c+d-\frac{1}{4}\left(ab+bc+cd+da+abc+bcd+cda+dab\right)\)
\(=4-\frac{1}{4}\left(ab+bc+cd+da+abc+bcd+cda+dab\right)\)
Ta có:
\(ab+bc+cd+da\le\frac{1}{4}\left(a+b+c+d\right)^2=4\)
\(abc+bcd+cda+dab\le\frac{1}{16}\left(a+b+c+d\right)^3=4\)
nên \(S\ge4-\frac{1}{4}\cdot\left(4+4\right)=2\)(Đpcm)
Dấu = khi \(a=b=c=d=1\)
giỏi thì làm bài nÀY nèk
chứ mấy bác cứ đăng linh ta linh tinh lên online math
Linh ta linh tinh gì. ko biết làm thì tôi mới nhờ mọi người chứ
đây là câu cuối bài khảo sat trg tôi. ko làm được thì đừng phát biểu linh tinh
Câu 1:
Đặt \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k\Rightarrow x=ak;y=bk;z=ck\)
Ta có: \(\frac{bz-cy}{a}=\frac{bck-bck}{a}=0\) (1)
\(\frac{cx-az}{b}=\frac{ack-ack}{b}=0\) (2)
\(\frac{ay-bx}{c}=\frac{abk-abk}{c}=0\) (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra \(\frac{bz-cy}{a}=\frac{cx-az}{b}=\frac{ay-bx}{c}\)
Câu 2:
Theo đề bài ta có: \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}\), thêm 1 vào mỗi phân số ta được:
\(\frac{a}{b+c}+1=\frac{b}{a+c}+1=\frac{c}{a+b}+1\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{b+c}=\frac{a+b+c}{a+c}=\frac{a+b+c}{a+b}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\cdot\frac{1}{b+c}=\left(a+b+c\right)\cdot\frac{1}{a+c}=\left(a+b+c\right)\cdot\frac{1}{a+b}\)
Vì a,b,c khác nhau và khác 0 nên đẳng thức xảy ra chỉ khi a + b + c = 0 => \(\hept{\begin{cases}a+b=-c\\b+c=-a\\a+c=-b\end{cases}}\)
Thay vào P ta được:
\(P=\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}=\frac{-a}{a}+\frac{-b}{b}+\frac{-c}{c}=\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)=-3\)
Vậy P = -3
Câu 3:
Theo đề bài ta có \(\frac{2a+b+c+d}{a}=\frac{a+2b+c+d}{b}=\frac{a+b+2c+d}{c}=\frac{a+b+c+2d}{d}\), bớt 1 ở mỗi phân số ta được:
\(\frac{2a+b+c+d}{a}-1=\frac{a+2b+c+d}{b}-1=\frac{a+b+2c+d}{c}-1=\frac{a+b+c+2d}{d}-1\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c+d}{a}=\frac{a+b+c+d}{b}=\frac{a+b+c+d}{c}=\frac{a+b+c+d}{d}\)
- Nếu a + b + c + d \(\ne\) 0 => a = b = c = d lúc đó M = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
- Nếu a + b + c + d = 0 => a + b = -(c + d)
b + c = -(d + a)
c + d = -(a + b)
d + a = -(b + c)
Lúc đó M = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = -4
Câu hỏi của Trần Anh Đại nếu ko vào được ib vs tui để biết thêm chi tiết!
dễ thôi
ta có:
\(\frac{a}{1+b^2c}=a-\frac{ab^2c}{1+b^2c};\frac{b}{1+c^2d}=b-\frac{bc^2d}{1+c^2d};\frac{c}{1+d^2a}=c-\frac{cd^2a}{1+d^2a};\frac{d}{1+a^2b}=d-\frac{da^2b}{1+a^2b}\)
áp dụng cauchy ta có:
\(b^2c+1\ge2b\sqrt{c};c^2d+1\ge2c\sqrt{d};d^2a+1\ge2d\sqrt{a};a^2b+1\ge2a\sqrt{b}\)
\(=4-\frac{ab\sqrt{c}+bc\sqrt{d}+cd\sqrt{a}+da\sqrt{b}}{2}\)
theo ông cauchy thì
\(ab\sqrt{c}\le\frac{ab\left(c+1\right)}{2};bc\sqrt{d}\le\frac{bc\left(d+1\right)}{2};cd\sqrt{a}\le\frac{cd\left(a+1\right)}{2};da\sqrt{b}\le\frac{da\left(b+1\right)}{2}\)
\(\Rightarrow4-\frac{ab\sqrt{c}+bc\sqrt{d}+cd\sqrt{a}+da\sqrt{b}}{2}\ge4-\frac{\left(abc+bcd+cda+dab\right)+\left(ab+bc+cd+da\right)}{4}\)
vẫn là ông cauchy nói là \(abc+bcd+cda+dab\le\frac{1}{16}\left(a+b+c+d\right)^3=4\)
\(ab+bc+cd+da=\left(b+d\right)\left(a+c\right)\le\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4}=4\)
\(\Rightarrow4-\frac{\left(abc+bcd+cda+dab\right)+\left(ab+bc+cd+da\right)}{4}\ge4-\frac{4+4}{4}=2\)
\(\Rightarrow\frac{a}{1+b^2c}+\frac{b}{1+c^2d}+\frac{c}{1+d^2a}+\frac{d}{1+a^2b}\ge2\left(Q.E.D\right)\)
dấu bằng xảy ra khi a=b=c=d=1
\(\Rightarrow\frac{a}{1+b^2c}+\frac{b}{1+c^2d}+\frac{c}{1+d^2a}+\frac{d}{1+a^2b}\ge\left(a+b+c+d\right)-\frac{ab^2c}{2b\sqrt{c}}-\frac{bc^2d}{2c\sqrt{d}}-\frac{cd^2a}{2d\sqrt{a}}-\frac{da^2b}{2a\sqrt{b}}\)
Kiệt đừng ghi dòng cuối nhé,ko bít nó ở mô ra