cmr tích 3 số nguyên dương liên tiếp ko là lập phương
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
15 tháng 1 2020
a,Giả sử tích 2 số nguyên dương là 1 số chính phương
Gọi 2 số đó là \(x;x+1\left(x\inℕ^∗\right)\)
ta có:\(x\left(x+1\right)=a^2\left(a\inℤ|a\ne0\right)\)
Mà x và x+1 nguyên tố cùng nhau
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=b^2\\x+1=c^2\Rightarrow b^2+1=c^2\end{cases}}\)
\(\Rightarrow1=c^2-b^2=\left(c-b\right)\left(c+b\right)\Rightarrow c-b=c+b\Rightarrow b=0\Rightarrow x=0\)(Trái với giả thuyết)
Vậy điều giả sử là sai,do đó tích 2 số nguyên dương ko là số chính phương(DPCM)
15 tháng 1 2020
Giả sử có số thỏa mãn đề bài
Gọi 3 số đó là\(x-1;x;x+1\left(x\inℕ|x>1\right)\)
Ta có:\(\left(x-1\right)x\left(x+1\right)=a^2\)(điều kiện như câu a)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)x=a^2\Rightarrow\left(x^2-1\right)x=a^2\)
Gọi d là ước chung của x và\(x^2-1\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2-1⋮d\\x⋮d\Rightarrow x^2⋮d\end{cases}}\)
\(\Rightarrow x^2-\left(x^2-1\right)=1⋮d\Rightarrow d=1\)
Do đó x và\(x^2-1\)nguyên tố cùng nhau
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=b^2\\x^2-1=\left(b^2\right)^2-1=c^2\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(b^2\right)^2-1=c^2\Rightarrow\left(b^2\right)^2-c^2=1\Rightarrow\left(b^2-c\right)\left(b^2+c\right)=1\Rightarrow b^2-c=b^2+c\Leftrightarrow c=0\)
\(\Rightarrow\left(b^2\right)^2-1=0\Rightarrow\left(b^2\right)^2=1\Rightarrow b^2=1\Rightarrow x=1\)(Trái với giả thuyết)
Vậy điền giả sử là sai,do đó ko có số nguyên dương thỏa mãn đề bài(ĐPCM)
BN
1
HT
4 tháng 9 2020
G/s 3 số nguyên dương đó là: \(a;a+1;a+2\) với \(a\inℕ\)
Ta có: \(a\left(a+1\right)\left(a+2\right)=a^3+3a^2+2a\)
Xét: \(a^3+3a^2+2a>a^3\)
Mặt khác: \(a^3+3a^2+2a< a^3+3a^2+3a+1=\left(a+1\right)^3\)
=> \(a^3< a^3+3a^2+2a< \left(a+1\right)^3\)
Mà \(a^3;\left(a+1\right)^3\) là 2 số lập phương liên tiếp
=> \(a^3+3a^2+2a\) không là lập phương của 1 số tự nhiên
=> đpcm
NV
0
DT
0
TA
1
1 tháng 1 2016
Gọi 4 số nguyên dương liên tiếp là n, n+1, n+2, n+3.
Đặt S=n(n+1)(n+2)(n+3)
=n(n+3)(n+1)(n+2)=(n^2+3n)(n^2+3n+2)=(n^2+3n)^2 + 2(n^2+3n) +1 -1
=(n^2 +3n +1)^2 - 1
Sử dụng tính chất kẹp giữa của số chính phương:
(n^2 + 3n)^2 < (n^2 + 3n + 1)^2 - 1 < (n^2 + 3n +1)
Trên đây là 2 số chính phương liên tiếp nên S không là số chính phương.
NP
1
28 tháng 9 2017
Gọi tích 4 số nguyên dương liên tiếp đó là A=(a-1)a(a+1)(a+2)
A = [(a-1)(a+2)][a(a+1)] = (a^2+2a-a-2)(a^2+a) = (a^2+a-2)(a^2+a)
Đặt a^2+a-1=x; thế thì A=(x-1)(x+1)=x^2-1 không phải là số chính phương
12 tháng 7 2016
Gọi ba số nguyên dương liên tiếp lần lượt là n , n+1 , n+2 (\(n\in Z+\))
Ta có : \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)=\left(n^2+n\right)\left(n+2\right)=n^3+2n^2+n^2+2n=n^3+3n^2+2n\)
Mặt khác : \(n^3< n^3+3n^2+2n< n^3+3n^2+3n+1\)
\(\Rightarrow n^3< n^3+3n^2+2n< \left(n+1\right)^3\)(1)
Vì n là số nguyên dương nên từ (1) ta có \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) không là lập phương của một số tự nhiên.
11 tháng 7 2015
Dây là 4 số nguyên dương liên tiếp, còn phần kia tương tự nha
Đặt A = n.(n+1)(n+2)(n+3) với n ≥ 1; n € N
A = [n.(n+3)].[(n+1)(n+2)] = (n² + 3n).(n²+3n+2)
= t(t+2) (với t = n² + 3n ≥ 4 ; t € N)
Ta thấy
t² < A = t² + 2t < t² + 2t + 1 = (t+1)²
=> A nằm giữa 2 số chính phương liên tiếp
=> A không phải là số chính phương (đpcm)
Không Thể được . 3 số nguyên dương có tích ko phải là lập phương
Chứng minh tích 3 số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương.
Giải như sau:
$a(a+1)(a+2)=x^2$ với $a>0,x>0$
TH1: $a$ lẻ suy ra $gcd(a,a+1)=1,gcd(a+1,a+2)=1,gcd(a,a+2)=1$
Do đó $a=m^2,a+1=n^2,a+2=p^2$ với $mnp=x$
Suy ra $n^2-m^2=1 \Rightarrow (n-m)(n+m)=1 \Rightarrow n=1,m=0$ suy ra $a=0$ loại do $a>0$
TH2: $a$ chẵn suy ra $a=2t$ do đó $4t(2t+1)(t+1)=x^2 \Rightarrow x=2x'$
Suy ra $t(2t+1)(t+1)=x'^2$ lúc này $gcd(t,2t+1)=gcd(t,t+1)=gcd(2t+1,t+1)=1$
Suy ra $t=m^2,2t+1=n^2,t+1=p^2,mnp=x' \Rightarrow p^2-m^2=1$ cũng loại vì khi đó $t=0$ thì $a=0$ loại
Đây chính là $đpcm$