Question

[Trần Thị Thanh Hiền]

Cho tam giác ABC (AB khác AC). Đường trung trực của BC cắt tia phân giác Ax của góc A ở điểm O. Kẻ OE, OF theo thứ tự vuông góc với AB, AC.
a) Cm: BE = CF.
b) Kẻ EF cắt BC tại M và cắt tia Ax tại I. Cm M là trung điểm của cạnh BC.
c) Cm:  .

Answer 1

[ST]

a, +) Xét \(\Delta OAE\) và \(\Delta OAF\) có:

\(\widehat{E}=\widehat{F}=90^o\left(gt\right)\)

\(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\left(gt\right)\)

OA là cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta OAE=\Delta OAF\) (cạnh huyền, góc nhọn)

=> OE = OF và AE = À

+) Xét \(\Delta OPB\) và \(\Delta OPC\) có:

BP = PC (gt)

\(\widehat{BPO}=\widehat{CPO}=90^o\) (vì OP là trung trực của BC)

OP là cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta OPB=\Delta OPC\left(c.g.c\right)\)

=> OB = OC

+) Xét \(\Delta BOE\) và \(\Delta COF\) có:

\(\widehat{E}=\widehat{F}=90^o\left(gt\right)\)

OB = OC (cmt)

OE = OF (cmt)

\(\Rightarrow\Delta BOE=\Delta COF\) (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

=> BE = CF (đpcm)

b, Kẻ BD // AC (D \(\in\) EF)

\(\Rightarrow\widehat{BDM}=\widehat{MFC};\widehat{MBD}=\widehat{MCF}\) (so le trong)

Vì \(\Delta AEF\) cân (AE = AF) => \(\hept{\begin{cases}\widehat{BDE}=\widehat{AFE}\\\widehat{BED}=\widehat{AFE}\end{cases}\Rightarrow\widehat{BDE}=\widehat{BED}}\) => \(\Delta BED\) cân => BE = BD = CF (vì BE = CF)

Xét \(\Delta MBD\) và \(\Delta MCF\) có:

\(\widehat{MBD}=\widehat{MCF}\) 

BD = CF (cmt)

\(\widehat{BDM}=\widehat{MFC}\)

\(\Rightarrow\Delta MBD=\Delta MCF\) (g.c.g)

=> MB = MC

=> M là trung điểm của BC (đpcm)

c, Xét \(\Delta AEI\)và \(\Delta AFI\) có:

AE = AF

góc A1 = góc A2

AI là cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta AEI=\Delta AFI\left(c.g.c\right)\)

=> góc AIE = góc ÀI

Mà góc AIE và góc AIF kề bù => \(\widehat{AIE}=\widehat{AIF}=90^o\Rightarrow AO⊥EF\) tại I

Áp dụng định lý Py-ta-go vào các tam giác vuông:

\(\Delta IAE\) có \(\widehat{I}=90^o\Rightarrow IA^2+IE^2=AE^2\left(1\right)\)

\(\Delta IAF\) có \(\widehat{I}=90^o\Rightarrow IA^2+IF^2=AF^2\left(2\right)\)

\(\Delta IOE\) có \(\widehat{I}=90^o\Rightarrow IE^2+IO^2=EO^2\left(3\right)\)

\(\Delta IOF\) có \(\widehat{I}=90^o\Rightarrow IF^2+IO^2=OF^2\left(4\right)\)

Cộng (1),(2),(3),(4) vế với vế ta được:

\(2\left(IA^2+IE^2+IO^2+IF^2\right)=\left(AE^2+EO^2\right)+\left(AF^2+OF^2\right)\)

\(\Delta AEO\)vuông ở E nên \(AE^2+EO^2=AO^2\) (5)

\(\Delta AFO\)vuông ở F nên \(AF^2+OF^2=AO^2\) (6)

Từ (5) và (6) => \(2\left(IA^2+IE^2+IF^2+IO^2\right)=AO^2+AO^2=2AO^2\) hay \(IA^2+IE^2+IO^2+IF^2=AO^2\) (đpcm)

Answer 2

[ST]

VẼ OP cho đúng chỗ nhé mình vẽ hơi sai và qua câu b thì xóa OP mà vẽ M vào nhé