Cho x,y,z>0 và \(xyz\ge x+y+z+2\). Tìm Min(x+y+z)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
20 tháng 7 2019
Áp dụng: (a + b)² ≥ 4ab Ta có:
(x + y + z)² ≥ 4(x + y)z hay 1 ≥ 4(x + y)z (*) (Vì x + y + z = 1)
=> (x + y)/xyz ≥ 4(x + y)²z/xyz ( Nhân hai vế (*) với (x + y)/xyz)
=> (x + y)/xyz ≥ 4.4xyz/xyz = 16 (vì (x + y)² ≥ 4xy)
Vậy min A = 16 <=> x = y; x + y = z và x + y + z = 1
=> x = y = 1/4; z = 1/2
20 tháng 7 2019
bn Phùng Gia Bảo nhầm 1 chỗ r nhe
C1: \(A=\frac{x+y+z}{xyz}=\frac{1}{\left(\sqrt[3]{xyz}\right)^3}\ge\frac{1}{\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^3}=\frac{1}{\frac{1}{27}}=27\)
C2: \(A=\frac{x+y+z}{xyz}=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\ge\frac{9}{xy+yz+zx}\ge\frac{9}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}=\frac{9}{\frac{1}{3}}=27\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z=\frac{1}{3}\)
AV
0
5 tháng 2 2022
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2\ge3\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\right)=\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{xyz}\Rightarrow x+y+z\ge\dfrac{3}{xyz}\)
\(x+y+z=\dfrac{x+y+z}{3}+\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{3}\ge\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{2}{3}.\dfrac{3}{xyz}\ge\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{9}{x+y+z}\right)+\dfrac{2}{xyz}=\dfrac{3}{x+y+z}+\dfrac{2}{xyz}\left(đpcm\right)\)
\(dấu"="xảy\) \(ra\Leftrightarrow x=y=z=1\)
HN
Cho x, y, z > 0 và xyz=1. CMR :
\(\dfrac{x^2}{1+y}+\dfrac{y^2}{1+z}+\dfrac{z^2}{1+z}\ge\dfrac{3}{2}\)
1
MH
26 tháng 4 2023
Đề sai nhé, \(\dfrac{z^2}{x+1}\) mới đúng nha
\(\dfrac{x^2}{y+1}+\dfrac{y^2}{z+1}+\dfrac{z^2}{x+1}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3}\left(\text{Svácxơ}\right)\)
\(\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}\ge\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Ta có: \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\)
\(\Rightarrow x+y+z+3\le2\left(x+y+z\right)\)
TT
1
Y
4 tháng 12 2017
☘ Áp dụng bất đẳng thức AM - GM và kết hợp với giả thiết đề bài cho
\(\Rightarrow\dfrac{\left(x+y+z\right)^3}{27}\ge xyz\ge x+y+z+2\)
☘ Đặt \(x+y+z=t\)
\(\Rightarrow\dfrac{t^3}{27}\ge t+2\)
\(\Leftrightarrow t^3-27t-54\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-6\right)\left(t+3\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow t\ge6\)
⚠ Tự kết luận.
Q
0
HF
14 tháng 8 2020
\(P=\frac{\sqrt{1+x^2+y^2}}{xy}+\frac{\sqrt{1+y^2+z^2}}{yz}+\frac{\sqrt{1+z^2+x^2}}{zx}\)
\(\ge\text{Σ}\frac{\sqrt{\frac{\left(1+x+y\right)^2}{3}}}{xy}\text{=}\frac{1+x+y}{xy\sqrt{3}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(\frac{1+x+y}{xy}+\frac{1+y+z}{yz}+\frac{1+z+x}{zx}\right)\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(x+y+z+2xy+2yz+2zx\right)\)\(\ge\frac{\sqrt{3}}{3}\left(3\sqrt[3]{xyz}+2\cdot3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(3+6\right)=3\sqrt{3}\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=1\)
1;2;3
Ta có:
\(xyz\ge x+y+z+2\ge2+3\sqrt[3]{xyz}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y+z}{3}\ge\sqrt[3]{xyz}\ge2\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\ge6\)