cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao ah. Qua H vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại M, đường thẳng song song với AB cắt AC tại N a) chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật b) trên tia đối của tia NA lấy điểm D sao cho ND = NA chứng minh tứ giác MHDN là hình bình hành c) kẻ AE vuông góc HD với tại E. chứng minh: ME vuông góc với NE.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a: Xét tứ giác AMHN có
AM//HN
AN//HM
Do đó: AMHN là hình bình hành
Hình bình hành AMHN có \(\widehat{MAN}=90^0\)
nên AMHN là hình chữ nhật
b: Ta có: AMHN là hình bình hành
=>HM//AN và HM=AN
Ta có: HM//AN
N\(\in\)AE
Do đó: HM//ND
Ta có: HM=NA
NA=ND
Do đó: HM=ND
Xét tứ giác MHDN có
MH//DN
MH=DN
Do đó: MHDN là hình bình hành
c: Gọi O là giao điểm của AH và NM
Ta có: ANHM là hình chữ nhật
=>AH=MN và AH cắt MN tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của AH và MN
Ta có: ΔAEH vuông tại E
mà EO là đường trung tuyến
nên \(EO=\dfrac{AH}{2}=\dfrac{MN}{2}\)
Xét ΔNEM có
EO là đường trung tuyến
\(EO=\dfrac{NM}{2}\)
Do đó: ΔNEM vuông tại E
=>NE\(\perp\)ME
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
b) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:
\(BC^2=AB^2+AC^2\)
\(\Leftrightarrow BC^2=21^2+28^2=1225\)
hay BC=35(cm)
Vậy: BC=35cm
Xét ΔAHB vuông tại H và ΔCAB vuông tại A có
\(\widehat{B}\) chung
Do đó: ΔAHB\(\sim\)ΔCAB(g-g)
Suy ra: \(\dfrac{AH}{CA}=\dfrac{AB}{CB}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
\(\Leftrightarrow\dfrac{AH}{28}=\dfrac{21}{35}\)
hay AH=16,8(cm)
Vậy: BC=35cm; AH=16,8cm
a) Xét tứ giác AMHN có
\(\widehat{NAM}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0,N\in AC,M\in AB\))
\(\widehat{AMH}=90^0\left(HM\perp AB\right)\)
\(\widehat{ANH}=90^0\left(HN\perp AC\right)\)
Do đó: AMHN là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a: Xét tứ giác APMN có
NM//AP
MP//AN
Do đó: APMN là hình bình hành
mà \(\widehat{NAP}=90^0\)
nên APMN là hình chữ nhật
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Xét tứ giác ADME có
ME//AD(gt)
MD//AE(gt)
Do đó: ADME là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành ADME có \(\widehat{EAD}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0,E\in AC,D\in AB\))
nên ADME là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
b) Ta có: ADME là hình chữ nhật(cmt)
nên ED=AM(Hai đường chéo trong hình chữ nhật ADME)
mà ED=5cm(gt)
nên AM=5cm
Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)
mà AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(M là trung điểm của BC)
nên \(AM=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
\(\Leftrightarrow BC=2\cdot AM=2\cdot5=10\left(cm\right)\)
Xét ΔABC có AH là đường cao ứng với cạnh BC(gt)
nên \(S_{ABC}=\dfrac{AH\cdot BC}{2}=\dfrac{4.8\cdot10}{2}=24\left(cm^2\right)\)
c) Xét ΔABC có
M là trung điểm của BC(gt)
ME//AB(gt)
Do đó: E là trung điểm của AC(Định lí 1 về đường trung bình của tam giác)
Xét ΔABC có
M là trung điểm của BC(gt)
MD//AC(gt)
Do đó: D là trung điểm của AB(Định lí 1 về đường trung bình của tam giác)
Ta có: ΔAHB vuông tại H(AH⊥BC tại H)
mà HD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB(D là trung điểm của AB)
nên \(HD=\dfrac{AB}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
mà \(AD=\dfrac{AB}{2}\)(D là trung điểm của AB)
nên HD=AD
Ta có: ΔAHC vuông tại H(AH⊥BC tại H)
mà HE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC(E là trung điểm của AC)
nên \(HE=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
mà \(AE=\dfrac{AC}{2}\)(E là trung điểm của AC)
nên HE=AE
Xét ΔEAD và ΔEHD có
EA=EH(cmt)
ED chung
AD=HD(cmt)
Do đó: ΔEAD=ΔEHD(c-c-c)
⇒\(\widehat{EAD}=\widehat{EHD}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{EAD}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0\), D∈AB, E∈AC)
nên \(\widehat{EHD}=90^0\)
hay HD⊥HE(đpcm)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Xét tứ giác ADME có:
∠(DAE) = ∠(ADM) = ∠(AEM) = 90o
⇒ Tứ giác ADME là hình chữ nhật (có ba góc vuông).
b) Ta có ME // AB ( cùng vuông góc AC)
M là trung điểm của BC (gt)
⇒ E là trung điểm của AC.
Ta có E là trung điểm của AC (cmt)
Chứng minh tương tự ta có D là trung điểm của AB
Do đó DE là đường trung bình của ΔABC
⇒ DE // BC và DE = BC/2 hay DE // MC và DE = MC
⇒ Tứ giác CMDE là hình bình hành.
c) Ta có DE // HM (cmt) ⇒ MHDE là hình thang (1)
Lại có HE = AC/2 (tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông AHC)
DM = AC/2 (DM là đường trung bình của ΔABC) ⇒ HE = DM (2)
Từ (1) và (2) ⇒ MHDE là hình thang cân.
d) Gọi I là giao điểm của AH và DE. Xét ΔAHB có D là trung điểm của AB, DI // BH (cmt) ⇒ I là trung điểm của AH
Xét ΔDIH và ΔKIA có
IH = IA
∠DIH = ∠AIK (đối đỉnh),
∠H1 = ∠A1(so le trong)
ΔDIH = ΔKIA (g.c.g)
⇒ ID = IK
Tứ giác ADHK có ID = IK, IA = IH (cmt) ⇒ DHK là hình bình hành
⇒ HK // DA mà DA ⊥ AC ⇒ HK ⊥ AC
a: Xét tứ giác AMHN có
AM//HN
AN//HM
Do đó: AMHN là hình bình hành
Hình bình hành AMHN có \(\widehat{MAN}=90^0\)
nên AMHN là hình chữ nhật
b: Ta có: AMHN là hình bình hành
=>HM//AN và HM=AN
Ta có: HM//AN
N\(\in\)AE
Do đó: HM//ND
Ta có: HM=NA
NA=ND
Do đó: HM=ND
Xét tứ giác MHDN có
MH//DN
MH=DN
Do đó: MHDN là hình bình hành
c: Gọi O là giao điểm của AH và NM
Ta có: ANHM là hình chữ nhật
=>AH=MN và AH cắt MN tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của AH và MN
Ta có: ΔAEH vuông tại E
mà EO là đường trung tuyến
nên \(EO=\dfrac{AH}{2}=\dfrac{MN}{2}\)
Xét ΔNEM có
EO là đường trung tuyến
\(EO=\dfrac{NM}{2}\)
Do đó: ΔNEM vuông tại E
=>NE\(\perp\)ME