Question

[kim chi nguyen]

cho0<=a<=1  c/m:   \(\sqrt{a^2-a+1}+\sqrt{a-a^2+1}\le2\)

Answer 1

[Trần Thị Loan]

Bình phương 2 vế ta có:

\(a^2-a+1+a-a^2+1+2\sqrt{\left(a^2-a+1\right)\left(a-a^2+1\right)}\le4\)

<=>  \(2+2\sqrt{\left(a^2-a+1\right)\left(a-a^2+1\right)}\le4\)

<=> \(\sqrt{\left(1+\left(a^2-a\right)\right)\left(1-\left(a^2-a\right)\right)}\le1\) <=> \(\left(1+\left(a^2-a\right)\right)\left(1-\left(a^2-a\right)\right)\le1\)

<=> 1 - (a² - a)² \(\le\) 1 <=> (a² - a)² \(\ge\) 0 : Luôn đúng với mọi a => Bất đẳng thức đầu đúng với mọi 0 =< a <= 1

Dấu = xảy ra <=> a² - a = 0 <=> a = 0 hoặc a = 1

Answer 2

[Mr Lazy]

Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\Rightarrow\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)\), Dấu "=" xảy ra khi x = y

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

\(VT^2=\left(\sqrt{a^2-a+1}+\sqrt{a-a^2+1}\right)\le2\left(a^2-a+1+a-a^2+1\right)=4\)

\(\Rightarrow VT\le2=VP\)(đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{a^2-a+1}=\sqrt{a-a^2+1}\Leftrightarrow a^2-a=a-a^2\Leftrightarrow2a\left(a-1\right)=0\Leftrightarrow a=0\text{ hoặc }a=1\)