KC
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 1 2019
\(\sqrt{a^2+1}=\sqrt{a^2+ab+ac+bc}=\sqrt{a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)}=\sqrt{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy: \(\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\le\dfrac{a+b+a+c}{2}=\dfrac{2a+b+c}{2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{1+a^2}\le\dfrac{2a+b+c}{2}\)
Chứng minh tương tự ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{1+b^2}\le\dfrac{2b+a+c}{2}\\\sqrt{1+c^2}\le\dfrac{2c+a+b}{2}\end{matrix}\right.\)
Cộng vế với vế ta được:
\(\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}\le\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{2}=2\left(a+b+c\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
20 tháng 12 2020
\(VT=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\sqrt{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}+\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\le_{AM-GM}\dfrac{a+b+a+c}{2}+\dfrac{b+c+b+a}{2}+\dfrac{c+a+c+b}{2}=2\left(a+b+c\right)=VP\) (đpcm)
HH
23 tháng 1 2021
Đầy đủ hơn 1 tí nhé
Theo gt : ab + bc + ca = 1 nên a2 + 1 = a2 + ab + bc + ca
= ( a + b )( a + c )
- Áp dụng bđt Cauchy ta có :
\(\sqrt{a^2+1}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\le\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{2}\)
- Tương tư ta cũng có :
\(\sqrt{b^2+1}\le\frac{\left(b+a\right)+\left(b+c\right)}{2}\)và \(\sqrt{c^2+1}\le\frac{\left(c+a\right)+\left(c+b\right)}{2}\)
Từ đó suy ra : VT \(\le\frac{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)+\left(b+a\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)+\left(c+b\right)}{2}\)
\(\le2\left(a+b+c\right)=VP\left(đpcm\right)\)
KB
19 tháng 3 2019
Ta có : \(\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}=\sqrt{ab+bc+ac+a^2}+\sqrt{ab+bc+ac+b^2}+\sqrt{ab+bc+ac+c^2}=\sqrt{\left(b+a\right)\left(a+c\right)}+\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\sqrt{\left(a+c\right)\left(c+b\right)}\)
\(\le\frac{a+c+b+c}{2}+\frac{a+b+b+c}{2}+\frac{a+c+a+b}{2}=2\left(a+b+c\right)\)
( áp dụng BĐT Cô - si cho các số a ; b ; c dương )
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab+bc+ac=1\\a+c=b+c=a+b\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Vậy ...
TC
27 tháng 8 2017
Gọi 1/4 số a là 0,25 . Ta có :
a . 3 - a . 0,25 = 147,07
a . (3 - 0,25) = 147,07 ( 1 số nhân 1 hiệu )
a . 2,75 = 147,07
a = 147,07 : 2,75
a = 53,48
mình nha
TN
27 tháng 8 2017
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt{a^2+1}=\sqrt{a^2+ab+bc+ca}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
\(\le\frac{a+b+a+c}{2}=\frac{2a+b+c}{2}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:
\(\sqrt{b^2+1}\le\frac{2b+c+a}{2};\sqrt{c^2+1}\le\frac{2c+a+b}{2}\)
Cộng theo vế 2 BĐT trên thu đc ĐPCM
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 7 2020
\(VT\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}\)
\(VT\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\frac{81}{\left(a+b+c\right)^2}}\)
\(VT\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\frac{16}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{65}{\left(a+b+c\right)^2}}\)
\(VT\ge\sqrt{2\sqrt{\frac{16\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}}+\frac{65}{2^2}}=\frac{\sqrt{97}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)
ML
12 tháng 10 2015
Áp dụng bất đẳng thức Mincpoxki \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\)
(có thể chứng minh bằng biến đổi tương đương)
\(VT\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2}+\sqrt{c^2+\frac{1}{c^2}}\)
\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\right)^2}\)
Xét biểu thức trong căn.
\(\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\ge\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{9}{a+b+c}\right)^2\)
\(=\left(a+b+c\right)^2+\frac{16}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{65}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(\ge2\sqrt{\left(a+b+c\right)^2.\frac{16}{\left(a+b+c\right)^2}}+\frac{65}{2^2}=\frac{97}{4}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{\sqrt{97}}{2}.\)
Đẳng thức xảy ra khi 3 biến bằng nhau.
Bình phương 2 vế ta có:
\(a^2-a+1+a-a^2+1+2\sqrt{\left(a^2-a+1\right)\left(a-a^2+1\right)}\le4\)
<=> \(2+2\sqrt{\left(a^2-a+1\right)\left(a-a^2+1\right)}\le4\)
<=> \(\sqrt{\left(1+\left(a^2-a\right)\right)\left(1-\left(a^2-a\right)\right)}\le1\) <=> \(\left(1+\left(a^2-a\right)\right)\left(1-\left(a^2-a\right)\right)\le1\)
<=> 1 - (a2 - a)2 \(\le\) 1 <=> (a2 - a)2 \(\ge\) 0 : Luôn đúng với mọi a => Bất đẳng thức đầu đúng với mọi 0 =< a <= 1
Dấu = xảy ra <=> a2 - a = 0 <=> a = 0 hoặc a = 1
Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\Rightarrow\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)\), Dấu "=" xảy ra khi x = y
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:
\(VT^2=\left(\sqrt{a^2-a+1}+\sqrt{a-a^2+1}\right)\le2\left(a^2-a+1+a-a^2+1\right)=4\)
\(\Rightarrow VT\le2=VP\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{a^2-a+1}=\sqrt{a-a^2+1}\Leftrightarrow a^2-a=a-a^2\Leftrightarrow2a\left(a-1\right)=0\Leftrightarrow a=0\text{ hoặc }a=1\)