Cho đường tròn (O) với BC là đường kính. Lấy A thuộc (O). Tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau ở P. Kẻ đường cao AH ⊥ BC, H ∈ BC. Chứng minh CP đi qua trung điểm AH.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
18 tháng 12 2021
a: Xét (O) có
ΔABC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔABC vuông tại A
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)
ABC nhọn, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Vẽ đường tròn
DT
8 tháng 2 2022
Có \(\widehat{AEH}=90^o\)
=> ΔAEH vuông tại E có ED là đường trug tuyến
\(\Rightarrow ED=\dfrac{AH}{2};E\in\left(O\right)\)
=> EO là bán kính (O)
lại có : OE=OH=R
=> \(\widehat{OEH}=\widehat{BHD};vì\widehat{OHE}=\widehat{BHD}\left(dđ\right)\)
=> ΔOEH cân tại O
cm tương tự có ΔEMB cân tại M
=> \(\widehat{MEB}=\widehat{MBH}\)
\(\widehat{OEM}=\widehat{OEH}+\widehat{EHM}\)
\(=\widehat{DBH}+\widehat{BHD}=90^o\)
từ đó suy ra : OE ⊥ EM
<=>EM là tiếp tuyến của đường tròn ( O ).
Gọi I là giao của CP với AH; K là giao của CA với BP
\(sđ\widehat{CAx}=\dfrac{1}{2}sđcungAC\) (góc giữa tiếp tuyến và dây cung) (1)
\(sđ\widehat{BKC}=\dfrac{1}{2}\left(sđcungBC-sđcungAB\right)\) (góc có đỉnh ở ngoài hình tròn)
Ta có
\(sđcungBC=sđcungBAC\)
\(\Rightarrow sđcungBC-sđcungAB=sđcungBAC-sđcungAB=sđcungAC\)
\(\Rightarrow sđ\widehat{BKC}=\dfrac{1}{2}sđcungAC\) (2)
\(\widehat{CAx}=\widehat{KAP}\) (góc đối đỉnh) (3)
Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\widehat{KAP}=\widehat{BKC}\) => tg APK cân tại P
=> PA=PK
Mà PA=PB (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiếp điểm bằng nhau)
=> PK=PB
Ta có
\(BK\perp BC;AH\perp BC\) => AH//BK
Xét tg BCK có
\(\dfrac{IA}{PK}=\dfrac{IH}{PB}\) mà PK=PB (cmt) => IA=IH => I là trung điểm của AH