Cho x,y,z là các số thực dương. Chứng minh:
25x/(y+z) + 4y/(z+x) + 9z/(x+y) >= 12
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
NT
0
Những câu hỏi liên quan
8 tháng 12 2017
1 mảnh đất HCN có chu vi là 120m,có chiều rộng bằng \(\frac{3}{5}\)chiều dài.
a Tính diện tích mảnh đất đó
b Người ta chia mảnh vườn thành 2 khu.Biết\(\frac{1}{2}\)
diện tích trồng cây ăn quả bằng \(\frac{2}{5}\)diện tích khu trồng hoa.Tính diện tích mỗi khu.
9 tháng 12 2017
ĐẶt \(A=\frac{25x}{y+z}+25+\frac{4y}{z+x}+4+\frac{9z}{x+y}+9\)
\(A=\left(x+y+z\right)\left(\frac{25}{y+z}+\frac{4}{z+x}+\frac{9}{x+y}\right)\)
Chứng minh Bất đẳng thức phụ \(\frac{m^2}{a}+\frac{n^2}{b}+\frac{p^2}{c}\ge\frac{\left(m+n+p\right)^2}{a+b+c}\forall a,,b,c>0\)rồi áp dụng, ta có
\(A\ge\left(x+y+z\right)\frac{\left(5+2+3\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=50\)
\(\Rightarrow\frac{25x}{y+z}+\frac{4y}{z+x}+\frac{9z}{x+y}\ge12\forall x,y,z>0\)
NB
5 tháng 1 2020
Đặt \(a=y+z,b=z+x,c=x+y\) (với a > 0, b > 0, c> 0)
\(\Rightarrow x=\frac{b+c-a}{2},y=\frac{c+a-b}{2},z=\frac{a+b-c}{2}\). Ta có
\(VT\) \(P=\frac{25\left(b+c-a\right)}{2a}+\frac{4\left(c+a-b\right)}{2b}+\frac{9\left(a+b-c\right)}{2c}\)\(=\left(\frac{25b}{2a}+\frac{4a}{2b}\right)+\left(\frac{25c}{2a}+\frac{9a}{2c}\right)+\left(\frac{4c}{2b}+\frac{9b}{2c}\right)-19\ge10+15+6-19=12\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
\(\left\{{}\begin{matrix}5b=2a\\5c=3a\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow5b+5c=5a\Rightarrow x=0\left(vôlis\right)\)
Vậy BĐT P đúng
DV
5 tháng 1 2020
cái chỗ \(x=\frac{b+c-a}{2},y=\frac{c+a-b}{2},z=\frac{a+b-c}{2}\) là thế nào vậy??
DD
1
2 tháng 3 2021
Vì x,y,z dương nên xyz dương
nên chia cả hai vế của bđt ta được bđt \(\frac{x+y}{xyz}\ge1\)và ta cần chứng minh bđt này đúng thì bđt ban đầu được chứng minh
Ta có \(\frac{x+y}{xyz}=\frac{x}{xyz}+\frac{y}{xyz}=\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\ge\frac{4}{z\left(x+y\right)}\)( Cauchy-Schwarz dạng Engel ) (*)
Lại có \(z\left(x+y\right)\le\left(\frac{z+x+y}{2}\right)^2=2^2=4\)=> \(\frac{4}{z\left(x+y\right)}\ge\frac{4}{4}=1\)( AM-GM ) (**)
Từ (*) và (**) => \(\frac{x+y}{xyz}=\frac{x}{xyz}+\frac{y}{xyz}=\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\ge\frac{4}{z\left(x+y\right)}\ge1\)( đpcm )
Vậy bđt ban đầu được chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\x+y+z=4\\z=x+y\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=y=1\\z=2\end{cases}}\)
N
0
25 tháng 5 2018
\(x^4y+x^2y-x^2y=x^2y\left(x^2+1\right)-x^2y.\)
\(\hept{\begin{cases}\frac{x^2y\left(x^2+1\right)-x^2y}{\left(x^2+1\right)}=x^2y-\frac{x^2y}{\left(x^2+1\right)}\\\frac{y^2z\left(y^2+1\right)-y^2z}{\left(y^2+1\right)}=y^2z-\frac{y^2z}{\left(y^2+1\right)}\\\frac{z^2x\left(z^2+1\right)-z^2x}{\left(z^2+1\right)}=z^2x-\frac{z^2x}{\left(z^2+1\right)}\end{cases}}Vt\ge x^2y+y^2z+z^2x-\left(\frac{x^2y}{x^2+1}+\frac{y^2z}{y^2+1}+\frac{z^2x}{z^2+1}\right)\)
\(\hept{\begin{cases}x^2+1\ge2x\\y^2+1\ge2y\\z^2+1\ge2z\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-\frac{x^2y}{x^2+1}\ge\frac{x^2y}{2x}=\frac{xy}{2}\\\frac{y^2z}{2y}=\frac{yz}{2}\\\frac{z^2x}{2z}=\frac{xz}{2}\end{cases}\Leftrightarrow}VT\ge x^2y+y^2z+z^2x-\left(\frac{xy+yz+zx}{2}\right)}\)
\(x^2y+y^2z+z^2x\ge3\sqrt[3]{x^3y^3z^3}=3\)
\(VT\ge3-\frac{\left(xy+yz+zx\right)}{2}\)
t chỉ làm dc đến đây thôi :))
27 tháng 5 2018
Từ \(VT\ge x^2y+y^2z+z^2x-\left(\frac{xy+yz+zx}{2}\right)\)ta có:
\(x^2y+x^2y+y^2z=x^2y+x^2y+\frac{y}{x}\ge3xy\)(áp dụng BĐT Cauchy)
Tương tự : \(y^2z+y^2z+z^2x\ge3yz\); \(z^2x+z^2x+x^2y\ge3zx\)
Cộng vế theo vế suy ra : \(3\left(x^2y+y^2z+z^2x\right)\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2y+y^2z+z^2x\ge xy+yz+zx\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{xy+yz+zx}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu '=' xảy ra khi x = y = z = 1