Question

[Duong Thi Nhuong TH Hoa Trach - Pho...]

Cho x,y>0 và x+y=1. Tìm min \(K=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{xy}\)

Answer 1

[Mai Thanh Hải]

Ta có :

\(K=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\)(1)

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}>=\frac{4}{a+b}\)( "=" khi a=b ) , ta có :

\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}>=\frac{4}{x^2+2xy+y^2}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}>=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}=\frac{4}{1^2}=4\)    (2)  

Lại có : \(\left(x-y\right)^2>=0\) ("=" khi x=y )

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2>=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2>=2xy\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy>=4xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2>=4xy\)

\(\Leftrightarrow1>=4xy\)

\(\Leftrightarrow2xy< =\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2xy}>=2\)  (3)

Từ (1) , (2) và (3) , suy ra :  \(K>=4+2=6\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2=2xy\\x=y\\x+y=1\end{cases}}\)

                             \(\Rightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

        Vậy Min\(K=6\)khi \(x=y=\frac{1}{2}\)