cho x1 , x2 , x3 là nghiệm của phương trình x3 - x- 1 =0 .Tìm giá trị của biểu thức T=\(\frac{1+x_1}{1-x_1}\)+ \(\frac{1+x_2}{1-x_2}\)+\(\frac{1+x_3}{1-x_3}\)
Các bạn cố gắng giúp mk nha!!!
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Theo hệ thức Vi-et\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2+x_3=0\\x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=-1\\x_1x_2x_3=1\end{cases}}\)
Ta có \(T=\frac{1+x_1}{1-x_1}+\frac{1+x_2}{1-x_2}+\frac{1+x_3}{1-x_3}\)
\(=\frac{x_1-1}{1-x_2}+\frac{2}{1-x_1}+\frac{x_2-1}{1-x_2}+\frac{2}{1-x_2}+\frac{x_3-1}{1-x_3}+\frac{2}{1-x_3}\)
\(=-1+\frac{2}{1-x_1}-1+\frac{2}{1-x_2}-1+\frac{2}{1-x_3}\)
\(=2\left(\frac{1}{1-x_1}+\frac{1}{1-x_2}+\frac{1}{1-x_3}\right)-3\)
\(=2.\frac{\left(1-x_2\right)\left(1-x_3\right)+\left(1-x_1\right)\left(1-x_3\right)+\left(1-x_1\right)\left(1-x_2\right)}{\left(1-x_1\right)\left(1-x_2\right)\left(1-x_3\right)}-3\)
\(=2.\frac{1-x_2-x_3+x_2x_3+1-x_1-x_3+x_1x_3+1-x_1-x_2+x_1x_2}{\left(1-x_1-x_2+x_1x_2\right)\left(1-x_3\right)}-3\)
\(=2.\frac{3-2\left(x_1+x_2+x_3\right)+\left(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1\right)}{1-x_1-x_2+x_1x_2-x_3+x_1x_3+x_2x_3-x_1x_2x_3}-3\)
\(=2.\frac{3-2.0-1}{1-\left(x_1+x_2+x_3\right)+\left(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1\right)-x_1x_2x_3}-3\)
\(=2.\frac{2}{1-0-1-1}-3\)
\(=-7\)
Bài này lớp 7 mik đánh lộn vào lớp 9 ạ.mọi người thông cảm.
a Dw ơi,e thử làm cách khác:3
Vì \(x_1;x_2;x_3\) là 3 nghiệm của phương trình \(x^3-x-1\) nên:
\(x^3-x-1=\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)\)
\(=x^3-\left(x_1+x_2+x_3\right)x^2+\left(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3\right)x-x_1x_2x_3\)
Do đó \(x_1+x_2+x_3=0;x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=-1;x_1x_2x_3=1\)
Lại có:\(x_1^3-x_1-1=0\)
\(\Leftrightarrow-x_1=1-x_1^3=\left(1-x_1\right)\left(1+x_1+x_1^2\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1+x_1}{1-x_1}=\frac{\left(1+x_1\right)\left(1+x_1+x_1^2\right)}{-x_1}=\frac{x_1^3+3x_1^2+2x_1+1}{-x_1}=\frac{3x_1^2+3x_1-2}{-x_1}=-\left(3+2x_1+\frac{2}{x_1}\right)\)
Chứng minh tương tự,ta có:
\(\frac{1+x_2}{1-x_2}=-\left(3+2x_2+\frac{2}{x_2}\right)\)
\(\frac{1+x_3}{1-x_3}=-\left(3-2x_3+\frac{2}{x_3}\right)\)
Khi đó:\(T=\frac{1+x_1}{1-x_1}+\frac{1+x_2}{1-x_2}+\frac{1+x_3}{1-x_3}\)
\(=-\left(9+2\left(x_1+x_2+x_3\right)+2\cdot\frac{x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3}{x_1x_2x_3}\right)\)
\(=-\left(9+2\cdot0+2\cdot\frac{-1}{1}\right)\)
\(=-7\)
Vậy T=-7
Nếu đề bài là
Tính P=\(\frac{x_1^2+x_1-1}{x_1}\)-\(\frac{x_2^2+x_2-1}{x_2}\)
Thì lời giải như sau:
Theo định lý Viete, ta có:
x1.x2=-1
Khi đó P=\(\frac{x_1^2+x_1+x_1.x_2}{x_1}\)-\(\frac{x_2^2+x_2+x_1.x_2}{x_2}\)
Do x1 và x2 không thể bằng không nên ta chia tử mẫu của mỗi hạng tử cho x1,x2
Khi đó P=x1+x2+1-(x2+x1+1)=0
\(\dfrac{x_2}{x_1}=\dfrac{x_3}{x_2}=\dfrac{x_2+x_3}{x_1+x_2}=\dfrac{x_2+x_3}{3}\) (1)
\(\dfrac{x_3}{x_2}=\dfrac{x_4}{x_3}=\dfrac{x_3+x_4}{x_2+x_3}=\dfrac{12}{x_2+x_3}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x_2+x_3}{3}=\dfrac{12}{x_2+x_3}\Rightarrow x_2+x_3=\pm6\)
Th1: \(x_2+x_3=6\) thế vào (1):
\(\dfrac{x_2}{x_1}=\dfrac{x_3}{x_2}=\dfrac{x_4}{x_3}=\dfrac{6}{3}=2\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=2x_1\\x_4=2x_3\end{matrix}\right.\)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=3\\x_3+x_4=12\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x_1=3\\3x_3=12\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=1;x_2=2\\x_3=4;x_4=8\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow m=x_1x_2=2\)
Khỏi cần làm TH2 \(x_2+x_3=-6\) nữa, chọn luôn C
Giả sử tất cả các pt dưới đây đều có nghiệm
\(\left(x-1\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)=m\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-5x+4\right)\left(x^2-5x+6\right)=m\)
Đặt \(x^2-5x+4=t\) \(\Rightarrow x^2-5x+4-t=0\) (1)
\(\Rightarrow t\left(t+2\right)=m\Leftrightarrow t^2+2t-m=0\) (2)
Giả sử (2) có 2 nghiệm \(t_1;t_2\)
Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}t_1+t_2=-2\\t_1t_2=-m\end{matrix}\right.\)
Thay vào (1): \(\left[{}\begin{matrix}x^2-5x+4-t_1=0\\x^2-5x+4-t_2=0\end{matrix}\right.\)
Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=5\\x_1x_2=4-t_1\\x_3+x_4=5\\x_3x_4=4-t_2\end{matrix}\right.\)
\(Q=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}+\frac{x_3+x_4}{x_3x_4}=\frac{5}{4-t_1}+\frac{5}{4-t_2}=\frac{40-5\left(t_1+t_2\right)}{\left(4-t_1\right)\left(4-t_2\right)}\)
\(=\frac{40-5\left(t_1+t_2\right)}{t_1t_2-4\left(t_1+t_2\right)+16}=\frac{40-5.\left(-2\right)}{-m-4.\left(-2\right)+16}=\frac{50}{24-m}\)