Question

[Vũ Như Mai]

Cho (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Qua A vẽ 2 tiếp tuyến AB;AC đến đường tròn (O) (B;C làm tiếp điểm). Trên cung lớn BC lấy điểm D sao cho DB<DC, đường thẳng AD cắt (O) tại E (E khác D). Gọi M là trung điểm BC

a/ Chứng minh: AB^2 = AE>AD và 3 điểm A;M;O thẳng hàng (Câu này mình làm được rồi)

b/ Đường thẳng qua A song song với tiếp tuyến vẽ từ D cắt đường thẳng DB;DC tại P và Q. 

Chứng minh: tứ giác AEBP nội tiếp và tam giác ABP cân (Câu này cũng đã làm được)

c/ Chứng minh: Trực tâm H của tam giác DQP thuộc đường tròn (O) (Nguyên văn cái đề, không biết đề sai không)

d/ Chứng minh góc BDE = góc MDC và MD.ME = BC^2/4

Cần gấp ạ :)

Answer 1

[Đào Ngọc Hoa]

c. Gọi DK là đường cao của \(\Delta DPQ\)\(\left(K\in PQ\right)\)

F là giao điểm của DK với (O)\(\left(F\ne D\right)\)

Ta có: \(\widehat{OCA}=\widehat{OKA}=90^0\)

\(\Rightarrow\)Tứ giác OCAK nội tiếp.

\(\Rightarrow\widehat{COK}+\widehat{CAK}=180^0\)

Mà \(\widehat{COK}+\widehat{COF}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{CAK}=\widehat{COF}\)

\(\Rightarrow\widehat{CAK}=180^0-\left(\widehat{FCO}+\widehat{CFO}\right)=180^0-2\widehat{FCO}\)(Vì \(\Delta OFC\) cân tại O (OC=OF))

Ta có: \(\widehat{FCD}=90^0\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow\widehat{FCO}+\widehat{OCD}=90^0\)

Lại có:\(\widehat{OCA}=\widehat{OCD}+\widehat{ACD}=90^0\)(tính chất tiếp tuyến)

\(\Rightarrow\widehat{FCO}=\widehat{ACD}\)

\(\Delta CAQ\) có: \(\widehat{CAQ}+\widehat{ACD}+\widehat{AQC}=180^0\)

\(\Rightarrow180^0-2\widehat{FCO}+\widehat{FCO}+\widehat{AQC}=180^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{AQC}=\widehat{FCO}=\widehat{ACQ}\)

\(\Rightarrow\Delta CAQ\)cân tại A.

Lại có: AC=AB (Tính chất tiếp tuyến)

AB=AP(\(\Delta ABP\) cân tại A)

\(\Rightarrow AP=AC=AB=AQ\)

\(\Delta CPQ\)có: \(A\in PQ;AP=AC=AQ\)

\(\Rightarrow\Delta CPQ\)vuông tại C.

=>F,C,P thẳng hàng.

=> PC là đường cao của \(\Delta DPQ\)(\(C\in DQ\))

=> F là trực tâm của \(\Delta DPQ\)

=> F trùng với H.

Mà F thuộc (O)

=> H thuộc (O)

Answer 2

[Vũ Như Mai]

Trực tâm H chứ bạn?