K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

3 tháng 4 2017

\(A=a\left(a^2+2b\right)+b\left(b^2-a\right)=a^3+2ab+b^3-ab\)

\(=\left(a^3+b^3\right)+ab=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+ab\)

\(=1\cdot\left(a^2-ab+b^2\right)+ab=a^2-ab+b^2+ab\)

\(=a^2+b^2\)

\(a^2+b^2\ge0\Rightarrow A\ge0\)

3 tháng 4 2017

A=a3+2ab+b3-ab

A=(a+b)(a2-ab+b2)+ab

A=a2+b2

Áp dg BDT cosi ta co 

a2+b2>=2ab

Dấu = xảy ra khi a=b

=>Amin=2ab <=> a=b=0,5

=>a=0,5

4 tháng 4 2022

\(P\ge\dfrac{\left(2a+1+2b+1\right)\left(2a+1+2b+1\right)}{\left(2a+1\right)\left(2b+1\right)}\ge\dfrac{4\left(2a+1\right)\left(2b+1\right)}{\left(2a+1\right)\left(2b+1\right)}=4\)

Vậy \(P_{max}=4\), với a=b=1

9 tháng 11 2023

 

1/\(=4a^2+4b^2+c^2+8ab-4bc-4ca+4b^2+4c^2+a^2+8bc-4ca-4ab+4a^2+4c^2+b^2+8ca-4bc-4ab=\)

\(=9a^2+9b^2+9c^2=9\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

2/

Ta có

\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge-2\left(ab+bc+ca\right)=2\)

\(\Rightarrow P=9\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge18\)

\(\Rightarrow P_{min}=18\)

30 tháng 5 2018

\(A=a\left(a^2+2b\right)+b\left(b^2-a\right)=a^3+2ab+b^3-ab\)

\(=\left(a^3+b^3\right)+ab=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+ab=1\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\)

\(=a^2-ab+b^2-ab=a^2-2ab+b^2=\left(a-b\right)^2>=0\)

dấu = xảy ra khi a=b

vậy min A là 0 khi a=b

1. Cho số nguyên dương x, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:\(P=\dfrac{\left(x+1\right)^6}{\left(x^3+7\right)\left(x^3+3x^2+4\right)}\). 2. Cho \(a,b\ge0\) thỏa mãn \(a-\sqrt{a}=\sqrt{b}-b\), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:\(M=\left(a-b\right)\left(a+b-1\right)\). 3. Cho \(\Delta OEF\) vuông tại O có \(OE=a\), \(OF=b\), \(EF=c\) và \(\widehat{OEF}=\alpha\), \(\widehat{OFE}=\beta\).1)i, Chứng minh rằng không có giá trị nào của a,b,c để biểu...
Đọc tiếp

1. Cho số nguyên dương x, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(P=\dfrac{\left(x+1\right)^6}{\left(x^3+7\right)\left(x^3+3x^2+4\right)}\).

 

2. Cho \(a,b\ge0\) thỏa mãn \(a-\sqrt{a}=\sqrt{b}-b\), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(M=\left(a-b\right)\left(a+b-1\right)\).

 

3. Cho \(\Delta OEF\) vuông tại O có \(OE=a\)\(OF=b\)\(EF=c\) và \(\widehat{OEF}=\alpha\)\(\widehat{OFE}=\beta\).

1)

i, Chứng minh rằng không có giá trị nào của a,b,c để biểu thức \(A=\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{c}{a+b}\) nhận giá trị nguyên.

ii, Giả sử \(c\sqrt{ab}=\sqrt{2}\) , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(B=\left(a+b\right)^2\).

2)

i, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(C=\dfrac{1}{\sin^2\alpha}+\dfrac{1}{\sin^2\beta}-2\left(\sin^2\alpha+\sin^2\beta\right)+\dfrac{\sin\alpha}{\tan\alpha}-\dfrac{\tan\alpha+\cos\beta}{\cot\beta}\) .

ii, Tìm điều kiện của \(\Delta OEF\) khi \(2\cos^2\beta-\cot^2\alpha+\dfrac{1}{\sin^2\alpha}=2\).

0
24 tháng 7 2020

đại khái giống Ngọc thôi, sửa 1 số lỗi 

\(P=1-2\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)-2abc\)

\(b=mid\left\{a;b;c\right\}\)\(\Rightarrow\)\(ab^2+ca^2\le a^2b+abc\)

\(\Rightarrow\)\(P\le1-2a^2b-2bc^2-4abc=1-2b\left(c+a\right)^2\le1-8\left(\frac{b+\frac{c+a}{2}+\frac{c+a}{2}}{3}\right)^3=\frac{19}{27}\)

24 tháng 7 2020

ta có ab+bc+ca=(a+b+c)(ab+bc+ca)=(a2b+b2c+c2a)+(ab2+bc2+ca2)+3abc

=> a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)=1-2(ab+bc+ca)=1-2[(a2b+b2c+c2a)+(ab2+bc2+ca2)+3abc]

do đó P=2(a2b+b2c+c2a)+1-2[(a2b+b2c+c2a)+(ab2+bc2+ca2)+3abc]+4abc

=1-2(ab2+bc2+ca2)

không mất tính tổng quát giả sử a =<b=<c. suy ra

a(a-b)(b-c) >=0 => (a2-a)(b-c) >=0

=> a2b-a2c-ab2+abc >=0 => ab2+ca2=< a2b+abc

do đó ab2+bc2+ca2+abc=(ab2+ca2)+bc2+abc =< (a2b+abc)+b2c+abc=b(a+c)2

với các số dương x,y,z ta luôn có: \(x+y+z-3\sqrt[3]{xyz}=\frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\right)\left[\left(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}\right)^2+\left(\sqrt[3]{y}-\sqrt[3]{z}\right)^2+\left(\sqrt[3]{z}-\sqrt[3]{x}\right)^2\right]\ge0\)

=> \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\Rightarrow xyz\le\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^2\)(*)

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=z

áp dụng bđt (*) ta có:

\(b\left(a+c\right)^2=ab\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{a+c}{2}\right)\le4\left(\frac{b+\frac{a+c}{2}+\frac{a+c}{2}}{3}\right)^3=4\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3=\frac{4}{27}\)

=> P=1-2(ab2+bc2+ca2+abc) >= 1-2b(a+c)2 >= 1-2.4/27=19/27

vậy minP=19/27 khi x=y=z=1/3

9 tháng 6 2016

Có \(2a+2b-3\ge2\sqrt{2a.2b}-1=1\)(vì ab=1)
\(\Rightarrow F\ge a^3+b^3+\frac{7}{\left(a+b\right)^2}\)

9 tháng 6 2016

bạn giải giúp mình luôn phần sau di :((