Cho x,y,z>0 thỏa mãn x+y+z=4.CMR \(x+y\ge xyz\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
N
2
23 tháng 10 2019
Đặt \(A=\left(x+y\right)\left(x+z\right)=x^2+xy+xz+yz.\)
\(=x\left(x+y+z\right)+yz\)
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(A\ge2\sqrt{xyz\left(x+y+z\right)}=2\sqrt{1}=2\)(đpcm)
1 tháng 4 2020
Gọi số xe mà đoàn có là : x ( xe ) ( \(x\inℕ^∗\))
Thực tế có : x + 3 ( xe )
=> Lúc đầu mỗi xe chở được \(\frac{480}{x}\)( Tấn )
Thực tế mỗi xe chở được \(\frac{480}{x+3}\)( Tấn )
Theo đề bài ta có :
\(\frac{480}{x}-\frac{480}{x+3}=8\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}-\frac{1}{x+3}=\frac{8}{480}\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}-\frac{1}{x+3}=\frac{8}{480}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{x^2+3x}=\frac{1}{60}\Leftrightarrow x^2+3x=180\) \(\Leftrightarrow x^2+3x-180=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-12\right)\left(x+15\right)=0\)
\(\orbr{\begin{cases}x=12\left(Tm\right)\\x=-15\left(kTm\right)\end{cases}}\)
Vậy lúc đầu đoàn có 12 xe
TN
7
I
15 tháng 4 2020
Ta có
\(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xyz\left(x+y+z\right)\)
\(=>x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2\left(xyz\right)\left(x+y+z\right)\ge3xyz\left(x+y+z\right)\)
\(=>\left(xy+yz+zx\right)^2\ge3\left(x+y+z\right)\)
\(=>\frac{1}{\left(x+y+z\right)}\ge\frac{3}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)
\(=>A\ge\frac{3}{\left(xy+yz+zx\right)^2}-\frac{2}{xy+yz+zx}\)
đặt
\(\frac{1}{xy+yz+zx}=t\)
\(=>A\ge3t^2-2t\)
mà \(\left(3t-1\right)^2\ge0=>9t^2-6t+1\ge0=>3t^2-2t+\frac{1}{3}\ge0\Rightarrow3t^2-2t\ge-\frac{1}{3}\)
\(=>A\ge-\frac{1}{3}\)(dpcm)
Dấu = xảy ra khi x=y=z=1
LA
15 tháng 4 2020
tinh tuoi con gai bang 1/4 tuoi me , tuoi con bang 1/5 tuoi me . tuoi con gai cong voi tuoi cua con trai
la 18 tuoi . hoi me bao nhieu tuoi ?
8 tháng 11 2019
Từ giả thiết , ta có :
\(xyz=\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\left(1\right)\)
\(\Rightarrow1=\left(\frac{1}{x}-1\right)\left(\frac{1}{y}-1\right)\left(\frac{1}{z}-1\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức sau : \(abc\le\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3\) ta có :
\(1=\left(\frac{1}{x}-1\right)\left(\frac{1}{y}-1\right)\left(\frac{1}{z}-1\right)\le\left(\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-3}{3}\right)^3\)
\(\Rightarrow3\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-3\)
\(\Rightarrow6\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
\(\Rightarrow6xyz\le xy+yz+zx\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra:
\(3-3\left(x+y+z\right)+3\left(xy+yz+zx\right)=6xyz\le xy+yz+zx\)
\(\Rightarrow0\ge3-3\left(x+y+z\right)+2\left(xy+yz+zx\right)\)
Cộng 2 vế của bất đẳng thức trên cho \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\)ta được:
\(x^2+y^2+z^2\ge\left(x+y+z\right)^2-3\left(x+y+z+3\right)=\left(x+y+z-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)
Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
10 tháng 11 2019
ta có:
xyz=(1-x).(1-y).(1-z) (1)
=>1=(1:x-1).(1:y-1).(1:z-1)
NT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 5 2019
\(x^3+1+1\ge3\sqrt[3]{x^3}=3x\); \(y^3+1+1\ge3y\); \(z^3+1+1\ge3z\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3+6\ge3\left(x+y+z\right)\ge x+y+z+2.3\sqrt[3]{xyz}=x+y+z+6\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3\ge x+y+z\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
2 tháng 12 2019
Ta có:\(\frac{4+4\sqrt{1+x^2}}{4x}\le\frac{4+5+x^2}{4x}=\)\(\frac{x^2+9}{4x}\)Tương tự ta đc P\(\le\frac{x+y+z}{4}+\frac{9}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(=\frac{1}{4}\left(x+y+z\right)+\frac{9}{4}\left(\frac{xy+yz+zx}{xyz}\right)\)\(\le\frac{1}{4}\left(x+y+z\right)+\frac{9}{4}\cdot\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x+y+z\right)}\)\(=x+y+z\)
Dấu '='xảy ra <=>\(\hept{\begin{cases}x+y+z=xyz\\x=y=z\end{cases}\Rightarrow x=y=z=}\)\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Do x + y + z = 4 suy ra z = 4 - y -x
Ta có x + y >= 4xy -x^2y - yx^2