Question

[NGUYỄN ĐỖ BẢO VY]

cho 2 đg tròn (O);(O') tiếp xúc ngoài tại A. Đt OO' cắt đg tròn (O) tại B và cắt đg tròn (O') tại C. Vẽ DE là tiếp tuyến chung của 2 đg tròn (D ϵ đg tròn (O); E ϵ đg tròn (O')). Gọi M là gđ của BD và CE.
CMR:
a, BM.MD=MC.ME
b, Bt bk của đg tròn (O) và đg tròn (O') lần lượt là 4,5cm;2cm.Tính độ dài DE

Answer 1

[Đoàn Đức Hà]

a) Kẻ tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại \(A\). Đường này cắt \(DE\) tại \(I\). 

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì ta có \(IA=ID\) và \(IA=IE\) do đó tam giác \(ADE\) có \(IA=\dfrac{DE}{2}\) suy ra tam giác \(ADE\) vuông tại \(A\). 

Tứ giác \(ADME\) có \(\widehat{ADM}=\widehat{DAE}=\widehat{AEM}=90^o\) do đó \(ADME\) là hình chữ nhật. 

Hình chữ nhật \(ADME\) có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường mà \(I\) là trung điểm \(DE\) do đó \(I\) là trung điểm \(MA\) suy ra \(M,I,A\) thẳng hàng. 

Tam giác \(MAC\) vuông tại \(A\) đường cao \(AE\) suy ra \(ME.MC=MA^2\).

Tương tự ta cũng có \(MD.MB=MA^2\) suy ra đpcm. 

b) \(DE=MA\).

Xét tam giác vuông \(MBC\) đường cao \(MA\): 

\(MA^2=AB.AC=9.4=36\). 

Suy ra \(DE=MA=6\left(cm\right)\).