Cho biết \(f\left(x\right)+3f\left(\frac{1}{x}\right)=x^2\)
Tính \(f\left(2\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NM
Nguyễn Minh Quang
Giáo viên
30 tháng 12 2020
thay x=2 và x=1/2 ta có
\(\hept{\begin{cases}f\left(2\right)+3f\left(\frac{1}{2}\right)=4\\f\left(\frac{1}{2}\right)+3f\left(2\right)=\frac{1}{4}\end{cases}\Rightarrow f\left(2\right)=-\frac{13}{32}}\)
LA
16 tháng 2 2023
Từ GT ta lấy tích phân 2 vế cận từ 0 đến 1 ; sẽ được :
\(\int\limits^1_0f\left(x+1\right)dx+\int\limits^1_03f\left(3x+2\right)dx-\int\limits^1_04f\left(4x+1\right)dx-\int\limits^1_0f\left(2^x\right)dx=\int\limits^1_0\dfrac{3dx}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}\left(1\right)\)
\(\int\limits^1_0\dfrac{3dx}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}=\int\limits^1_03\left(\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}\right)dx\) =
\(2\left[\left(x+2\right)\sqrt{x+2}-\left(x+1\right)\sqrt{x+1}\right]\dfrac{1}{0}\) = \(2+6\sqrt{3}-8\sqrt{2}\left(2\right)\)
Dễ thấy : \(\int\limits^1_0f\left(x+1\right)dx=\int\limits^2_1f\left(t\right)dt=\int\limits^2_1f\left(x\right)dx\)
\(\int\limits^1_03f\left(3x+2\right)dx=\int\limits^5_2f\left(t\right)dt=\int\limits^5_2f\left(x\right)dx\) (3)
\(\int\limits^1_04f\left(4x+1\right)=\int\limits^5_1f\left(t\right)dt=\int\limits^5_1f\left(x\right)dx\left(4\right)\)
\(\int\limits^1_0f\left(2^x\right)dx=\int\limits^2_1\dfrac{f\left(t\right)dt}{tln2}=\dfrac{1}{ln2}.\int\limits^2_1\dfrac{f\left(t\right)dt}{t}=\dfrac{1}{ln2}.\int\limits^2_1\dfrac{f\left(x\right)dx}{x}\) (5)
Thay (2) ; (3) ; (4) ; (5) vào (1) ta được :
\(\int\limits^2_1f\left(x\right)dx+\int\limits^5_2f\left(x\right)dx-\int\limits^5_1f\left(x\right)dx-\dfrac{1}{ln2}.\int\limits^2_1\dfrac{f\left(x\right)dx}{x}=2+6\sqrt{3}-8\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\int\limits^2_1\dfrac{f\left(x\right)dx}{x}=\left(2+6\sqrt{3}-8\sqrt{2}\right)ln2\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
9 tháng 8 2021
Bài 1:
Cho $y=0$ thì: $f(x^3)=xf(x^2)$
Tương tự khi cho $x=0$
$\Rightarrow f(x^3-y^3)=xf(x^2)-yf(y^2)=f(x^3)-f(y^3)$
$\Rightarrow f(x-y)=f(x)-f(y)$ với mọi $x,y\in\mathbb{R}$
Cho $x=0$ thì $f(-y)=0-f(y)=-f(y)$
Cho $y\to -y$ thì: $f(x+y)=f(x)-f(-y)=f(x)--f(y)=f(x)+f(y)$ với mọi $x,y\in\mathbb{R}$
Đến đây ta có:
$f[(x+1)^3+(x-1)^3]=f(2x^3+6x)=f(2x^3)+f(6x)$
$=2f(x^3)+6f(x)=2xf(x^2)+6f(x)$
$f[(x+1)^3+(x-1)^3]=f[(x+1)^3-(1-x)^3]$
$=(x+1)f((x+1)^2)-(1-x)f((1-x)^2)$
$=(x+1)f(x^2+2x+1)+(x-1)f(x^2-2x+1)$
$=(x+1)[f(x^2)+2f(x)+f(1)]+(x-1)[f(x^2)-2f(x)+f(1)]$
$=2xf(x^2)+4f(x)+2xf(1)$
Do đó:
$2xf(x^2)+6f(x)=2xf(x^2)+4f(x)+2xf(1)$
$2f(x)=2xf(1)$
$f(x)=xf(1)=ax$ với $a=f(1)$
7 tháng 8 2021
\(f\left(x^5+y^5+y\right)=x^3f\left(x^2\right)+y^3f\left(y^2\right)+f\left(y\right)\)
Sửa lại đề câu 2 !!
12 tháng 4 2018
ta có: f(x) +3f(1/x) =x^2 với mọi x thuộc R
mà f(2)
=> f(2) +3f(1/2) = 2^2 =4 (1)
=> 3f(2) +f(1/2) =1/4 => 9f(2) +3f(1/2) = 3/4 (2)
=> (2) -(1) = 9f(2) +3f(1/2) - f(2) - 3f(1/2)
= 8f(2) = 3/4 -4
= -13/4
=> 8f(2) = -13/4
f(2) = -13/4 :8
f(2) = -13/32
p/s nha bn !!!!
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
1 tháng 3 2021
a) Chỉ là thay số nên bạn tự làm nhé.
b) \(y_1=1\), \(y_2=f\left(y_1\right)=f\left(1\right)=1-\left|1\right|=0\), \(y_3=f\left(y_2\right)=f\left(0\right)=1-\left|0\right|=1\), cứ tiếp tục như vậy.
Dễ dàng nhận thấy rằng với \(k\)lẻ thì \(y_k=1\), \(k\)chẵn thì \(y_k=0\)(1).
Khi đó ta có:
\(A=y_1+y_2+...+y_{2021}\)
\(A=1+0+1+...+1\)
\(A=\frac{2021-1}{2}+1=1011\)
Thế x = 2 và x = \(\frac{1}{2}\)và phương trình đầu ta được
\(\hept{\begin{cases}f\left(2\right)+3f\left(\frac{1}{2}\right)=4\\f\left(\frac{1}{2}\right)+3f\left(2\right)=\frac{1}{4}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}-3f\left(2\right)\left(1\right)\\f\left(2\right)+3.\left(\frac{1}{4}-3f\left(2\right)\right)=4\left(2\right)\end{cases}}\)
Ta có: (2) <=> 32f(2) + 13 = 0
\(\Leftrightarrow f\left(2\right)=\frac{-13}{32}\)
Tham gia cho nó đông vui.vắng vẻ quá
\(\hept{\begin{cases}f\left(2\right)+3f\left(\frac{1}{2}\right)=4\\f\left(\frac{1}{2}\right)+3f\left(2\right)=\frac{1}{4}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}f\left(2\right)+3f\left(\frac{1}{2}\right)=4\\3f\left(\frac{1}{2}\right)+9f\left(2\right)=\frac{3}{4}\end{cases}}\)
Trừ cho nhau
\(8f\left(2\right)=\left(\frac{3}{4}-4\right)=-\frac{13}{4}\Rightarrow f\left(2\right)-\frac{13}{32}\)
P/s: Với giá trị nào của x thì f(x) nhận giá trị không âm