Question

[Nghĩa Nguyễn]

tìm a,b,c,d là số tự nhiên thoả : \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}=1\).biết đáp án nhưng ko bít cách giải

Answer 1

[Hoàng Lê Bảo Ngọc]

Nếu \(a,b,c,d>2\) thì \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}< \frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}=1\) (vô lí)

Vậy trong bốn số a,b,c,d tồn tại ít nhất một số không lớn hơn 2

Không mất tính tổng quát, ta giả sử a là số nhỏ nhất, tức \(a\le b,a\le c,a\le d\) \(\Rightarrow a\le2\)

Khi đó \(a=1\) hoặc \(a=2\)

Dễ thấy \(a=1\) không thỏa mãn. Vậy \(a=2\)

Suy ra \(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}=\frac{3}{4}\)

Nếu \(b,c,d>3\) thì \(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}< \frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^2}=\frac{1}{3}< \frac{3}{4}\) (vô lí)

Vậy trong 3 số b,c,d tồn tại ít nhất một số không lớn hơn 3

Ta giả sử b là số nhỏ nhất \(b\le3\) , khi đó \(b=2\) hoặc \(b=3\) (vì b = 1 không thỏa)

• Nếu \(b=2\) thì \(\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}=\frac{1}{2}\)

Dễ thấy nếu \(c,d>2\) thì \(\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}>\frac{1}{2}\) (vô lí). Vậy \(c,d\le2\)

Với c = 1 hoặc d = 1 ta thấy ngay điều vô lí.

Với c = 2 thì d = 2 và ngược lại.

• Nếu \(b=3\) thì \(\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}=\frac{7}{18}\)

Dễ thấy nếu \(c,d>3\) thì \(\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}< \frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^2}=\frac{2}{9}< \frac{7}{18}\) (vô lí)

Vậy \(c,d\le3\)

Với c = 1 hoặc d = 1 thấy ngay điều vô lí

Với c= 2 thì d = 2 và ngược lại.

Với c = 3 thì d = \(\frac{5}{18}\) (loại vì \(d\notin N\))

Vậy : \(\left(a;b;c;d\right)=\left(2;2;2;2\right)\)

Cách này có vẻ chặt hơn :)

Answer 2

[Hoàng Lê Bảo Ngọc]

Nếu \(a,b,c,d>2\) thì \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}< \frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}=1\) (vô lí)

Vậy trong bốn số a,b,c,d tồn tại ít nhất một số không lớn hơn 2.

Không mất tính tổng quát, ta giả sử a là số lớn nhất, tức \(a\ge b\ge c\ge d\)

\(1=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}\ge\frac{4}{a^2}\Rightarrow a^2\ge4\Rightarrow a\ge2\) (Vì a > 0)

Mà  \(a\le2\) nên a = 2

\(\Rightarrow\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}=\frac{3}{4}\)

Vì \(b\ge c\ge d\) nên \(\frac{3}{4}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}\ge\frac{3}{b^2}\Rightarrow b^2\ge4\Leftrightarrow b\ge2\) (vì b > 0)

Vậy b = 2

\(\Rightarrow\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}=\frac{1}{2}\)

Nếu \(c=1\) thì \(\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}=1+\frac{1}{d^2}>\frac{1}{2}\) (vô lý)

Vậy c = 2 => d = 2

Kết luận : (a;b;c;d) = (2;2;2;2)