Cho a,b,c >0 và a+b+c=1
Tìm Min \(P=\frac{1}{16a}+\frac{1}{9b}+\frac{1}{c}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 10 2019
\(B=\frac{a+b}{ab}+\frac{2}{a+b}=\frac{a+b}{2ab}+\frac{a+b}{2ab}+\frac{2}{a+b}\)
\(B\ge\frac{2\sqrt{ab}}{2ab}+2\sqrt{\frac{2\left(a+b\right)}{2ab\left(a+b\right)}}=3\)
\(B_{min}=3\) khi \(a=b=1\)
Câu b thì đề chắc phải cho a;b;c là 3 cạnh của 1 tam giác để đảm bảo các mẫu thức dương chứ?
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}b+c-a=x\\a+c-b=y\\a+b-c=z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{y+z}{2}\\b=\frac{x+z}{2}\\c=\frac{x+y}{2}\end{matrix}\right.\)
\(T=\frac{2\left(y+z\right)}{x}+\frac{9\left(x+z\right)}{2y}+\frac{8\left(x+y\right)}{z}\)
\(T=\frac{2y}{x}+\frac{2z}{x}+\frac{9x}{2y}+\frac{9z}{2y}+\frac{8x}{z}+\frac{8y}{z}\)
\(T=\frac{2y}{x}+\frac{9x}{2y}+\frac{2z}{x}+\frac{8x}{z}+\frac{8y}{z}+\frac{9z}{2y}\)
\(T\ge2\sqrt{\frac{18xy}{2xy}}+2\sqrt{\frac{16xz}{xz}}+2\sqrt{\frac{72yz}{2yz}}=26\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}3x=2y\\z=2x\\4y=3z\end{matrix}\right.\)
8 tháng 7 2020
\(P=\frac{16a}{3}+\frac{1}{b}+\frac{4}{4c}\ge\frac{16a}{9}+\frac{16a}{9}+\frac{16a}{9}+\frac{9}{b+4c}\ge4\sqrt[4]{\frac{4096}{81}.\frac{a^3}{b+4c}}=\frac{32}{3}\)
"=" \(\Leftrightarrow\)\(\left(a;b;c\right)=\left(\frac{3}{2};\frac{9}{8};\frac{9}{16}\right)\)
TK
1
UI
27 tháng 2 2020
\(P=a-\frac{ab^2}{1+b^2}+b-\frac{bc^2}{1+c^2}+c-\frac{ca^2}{1+a^2}\)
\(\ge a-\frac{ab^2}{2b}+b-\frac{bc^2}{2c}+c-\frac{ca^2}{2c}\) (AM-GM)
\(\ge a-\frac{ab}{2}+b-\frac{bc}{2}+c-\frac{ac}{2}\ge\left(a+b+c\right)-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{6}\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
Vay MinP=3/2 dau = xay ra khi a=b=c=1
10 tháng 5 2020
Ta có : \(\frac{a}{1+9b^2}=\frac{a+9ab^2-9ab^2}{1+9b^2}=a-\frac{9ab^2}{1+9b^2}\ge a-\frac{9ab^2}{6b}=a-\frac{3ab}{2}\)
Tương tự : \(\frac{b}{1+9c^2}\ge b-\frac{3bc}{2}\); \(\frac{c}{1+9a^2}\ge c-\frac{3ac}{2}\)
\(\Rightarrow Q\ge a+b+c-\frac{3ab+3bc+3ac}{2}\ge a+b+c-\frac{3.\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
10 tháng 5 2020
Ta có: \(Q=\frac{a}{1+9b^2}+\frac{b}{1+9c^2}+\frac{c}{9a^2}=\frac{a+9ab^2-9ab^2}{1+9b^2}+\frac{b+9bc^2-9bc^2}{1+9b^2}+\frac{c+9ca^2-9ca^2}{1+9c^2}\)
\(=1-\frac{9ab^2}{1+9b^2}+b-\frac{9bc^2}{1+9c^2}+c-\frac{9ca^2}{1+9a^2}=1-\left(\frac{9ab^2}{1+9b^2}+\frac{9bc^2}{1+9c^2}+\frac{9ca^2}{1+9a^2}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{9ab^2}{1+9b^2}\le\frac{9ab^2}{2\sqrt{1\cdot9b^2}}=\frac{9ab^2}{2\cdot3b}=\frac{3ab}{2}\)
Tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{9bc^2}{1+9c^2}\le\frac{3ab}{2}\\\frac{9ca^2}{1+9a^2}\le\frac{3ab}{2}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{9ab^2}{1+9b^2}+\frac{9bc^2}{1+9c^2}+\frac{9ac^2}{1+9a^2}\le\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2}\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)
Hay \(Q=1-\left(\frac{9ab^2}{1+9b^2}+\frac{9bc^2}{1+9c^2}+\frac{9ca^2}{1+9a^2}\right)\ge1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Vậy \(Min_P=\frac{1}{2}\)đạt được khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
TN
31 tháng 7 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:\(F=\frac{a}{1+b-a}+\frac{b}{1+c-b}+\frac{c}{1+a-c}\)
\(=\frac{a}{2b+c}+\frac{b}{2c+a}+\frac{c}{2a+b}\)
\(=\frac{a^2}{2ab+ac}+\frac{b^2}{2bc+ab}+\frac{c^2}{2ac+bc}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2ab+ac+2bc+ab+2ac+bc}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\) khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
AV
1
8 tháng 7 2019
Ta có \(a+bc=a\left(a+b+c\right)+bc=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)
\(b+ac=\left(b+a\right)\left(b+c\right)\)
\(c+ab=\left(a+b\right)\left(c+b\right)\)
Đặt \(a+b=x;b+c=y;a+c=z\)=> \(x+y+z=2\)
Khi đó \(P=\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\)
Áp dụng BĐT cosi \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2y\); \(\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge2z\);\(\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}\ge2z\)
Cộng 3 BĐT trên
=> \(P\ge x+y+z=2\)
Vậy MinP=2 khi a=b=c=1/3