Question

[Nguyễn Nhất Linh]

Chứng minh :

a ) x^2 _ 2xy + y² + 1 > 0 với mọi số thực x và y.

b ) x - x² - 1 < 0 với mọi số thực x .

các bạn ơi giải giúp mình bài này với nhé ! 

Answer 1

[nguyễn trinh thành]

a) x² -  2xy + y²  + 1 = (x-y)² + 1 \(\ge\)1  

=> (x-y)² +1 >0  =>  x² - 2xy + y²  >0 

b) x - x² - 1 = -(x² - x + \(\frac{1}{4}\)) - \(\frac{3}{4}\)= - (x-\(\frac{1}{2}\))² - \(\frac{3}{4}\)< 0   => x -  x²  - 1 <0

Answer 2

[Huy Hoang]

a) Ta có:

\(x^2-2xy+y^2+1\)

\(=\left(x^2-2xy+y^2\right)+1\)

.\(=\left(x-y\right)^2+1\)

\(\left(x-y\right)^2\ge0\)với mọi \(x,y\in R\)

\(\Rightarrow x^2-2xy+y^2+1\)

\(=\left(x-y\right)^2+1\ge0+1=1>0 \forall x,y\in R\left(đpcm\right)\)

b) Ta có :

\(x-x^2-1\)

\(=-\left(x^2-x+1\right)\)

\(=-\left(x^2-2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+1-\frac{1}{2^2}\right)\)

\(=-\left[\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]\)

Ta có :

\(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)với mọi số thực x

\(\Rightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge0+\frac{3}{4}=\frac{3}{4}>0\)với mọi số thực x

\(\Rightarrow x-x^2-1=-\left[\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{3}{4}\right]< 0\)với mọi số thực ( đpcm )