Một chút đề để ôn thi hsg1) Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{x^2} \frac{1}{y^2} \frac{1}{z^2}=1$Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{y^2z^2}{x\left(y^2 z^2\right)} \frac{x^...

TT

Trí Tiên亗

15 tháng 4 2021 - olm

Một chút đề để ôn thi hsg1) Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1$Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{y^2z^2}{x\left(y^2+z^2\right)}+\frac{x^2z^2}{y\left(x^2+z^2\right)}+\frac{x^2y^2}{z\left(x^2+y^2\right)}$2) Cho tứ giác ABCD có $\widehat{BAD}=60^o,\widehat{BCD}=120^o$. Tia phân giác của góc $\widehat{BAD}$cắt BD tại E, Tia phân giác của $\widehat{BCD}$cắt BD tại F. Chứng...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

2

PN

Phan Nghĩa

15 tháng 4 2021

câu 1

$\frac{y^2z^2}{x\left(y^2+z^2\right)}=\frac{1}{x}.\left(\frac{y^2z^2}{y^2+z^2}\right)=\frac{1}{x}:\frac{y^2+z^2}{y^2z^2}=\frac{1}{x}:\left(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)$

tương tự rồi gọi ẩn

Đúng(0)

PN

Phan Nghĩa

15 tháng 4 2021

câu hình là ở trong đề thi hsg 9 tỉnh đắk lắk năm nay luôn nè :))

Đúng(0)

DT

Dương Thiên Tuệ

8 tháng 1 2018 - olm

Cho x,y,z là những số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1.$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P=\frac{y^2z^2}{x\left(y^2+z^2\right)}+\frac{z^2x^2}{y\left(x^2+z^2\right)}+\frac{x^2y^2}{z\left(x^2+y^2\right)}$

#Toán lớp 9

1

S

shitbo

7 tháng 5 2020

$P=\frac{y^2z^2}{x\left(y^2+z^2\right)}+\frac{z^2x^2}{y\left(x^2+z^2\right)}+\frac{x^2y^2}{z\left(x^2+y^2\right)}$

$=\frac{1}{x\left(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)}+\frac{1}{y\left(\frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}\right)}+\frac{1}{z\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)}$

Đặt $\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)$ thì $a^2+b^2+c^2=1$ Ta cần chứng minh:

$P=\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}$

$=\frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2}$

$=\frac{a^2}{a\left(1-a^2\right)}+\frac{b^2}{b\left(1-b^2\right)}+\frac{c^2}{c\left(1-c^2\right)}$

Theo đánh giá bởi AM - GM ta có:

$a^2\left(1-a^2\right)^2=\frac{1}{2}\cdot2a^2\cdot\left(1-a^2\right)\left(1-a^2\right)$

$\le\frac{1}{2}\left(\frac{2a^2+1-a^2+1-a^2}{3}\right)^3=\frac{4}{27}$

$\Rightarrow a\left(1-a^2\right)^2\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\Leftrightarrow\frac{a^2}{a\left(1-a\right)^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$

Tương tự rồi cộng lại ta có ngay điều phải chứng minh

Đúng(0)

MP

Minh Phương Đặng

26 tháng 12 2015 - olm

Cho 3 số thực dương x,y,z thoa mãn :$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :P=$y=\frac{y^2z^2}{x\left(y^2+z^2\right)}+\frac{z^2x^2}{y\left(z^2+x^2\right)}+\frac{x^2z^2}{z\left(x^2+y^2\right)}$

#Toán lớp 9

0

LV

๖ۣۜLuyri Vũ๖ۣۜ

18 tháng 10 2020 - olm

Cho x,y,z là các số dương thay đổi và luôn thỏa mãn điều kiện xyz=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$P=\frac{x^2\left(y+z\right)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^2\left(z+x\right)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^2\left(x+y\right)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}$

#Toán lớp 9

1

DN

Đặng Ngọc Quỳnh

18 tháng 10 2020

Vì xyz=1$\Rightarrow x^2\left(y+z\right)\ge2x^2\sqrt{yz}=2x\sqrt{x}$

Tương tự $y^2\left(z+x\right)\ge2y\sqrt{y};z^2=\left(x+y\right)\ge2z\sqrt{z}$

$\Rightarrow P\ge\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}$

Đặt $x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}=a;y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}=b;z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}=c$

$\Rightarrow x\sqrt{x}=\frac{4c+a-2b}{9};y\sqrt{y}=\frac{4a+b-2c}{9};z\sqrt{z}=\frac{4b+c-2a}{9}$

$\Rightarrow P\ge\frac{2}{9}\left(\frac{4c+a-2b}{b}+\frac{4a+b-2c}{a}+\frac{4b+c-2a}{b}\right)$

$=\frac{2}{9}\text{ }\left[4\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)-6\right]\ge\frac{2}{9}\left(4.3+2-6\right)=2$

Min P =2 khi và chỉ khi a=b=c khi va chỉ khi x=y=z=1

Đúng(0)

NT

Nguyễn Thị Ngọc Mai

13 tháng 10 2019 - olm

1, Cho hai số dương x,y thỏa mãn x+y=1. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức : $M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)$

2, Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn $\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}=6$ . Cmr : $\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\le\frac{3}{2}$

#Toán lớp 9

2

HF

HD Film

13 tháng 10 2019

Câu 1:

$M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}+\frac{255}{256x^2y^2}+2$

$\ge\frac{1}{8}+2+\frac{255}{256x^2y^2}$

Ta lại có: $1=x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow1\ge16x^2y^2$

$\Rightarrow M\ge\frac{17}{8}+\frac{255}{16}=\frac{289}{16}$

Dấu = xảy ra khi x=y=1/2

Đúng(0)

HF

HD Film

13 tháng 10 2019

Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz: $\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\right)\ge\frac{1}{3x+3y+2z}$

CMTT rồi cộng vế với vế ta có.$VT\le\frac{1}{16}\cdot4\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=\frac{3}{2}$

Dấu = xảy ra khi x=y=z=1

Đúng(0)

KC

kim chi nguyen

3 tháng 9 2016 - olm

Câu hỏi hay

cho 3 số thực dương x;y;z thỏa mãn x+y+z<=3/2. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$P=\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(zx+1\right)}+\frac{y\left(zx+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}$

#Toán lớp 9

0

TA

tiểu an Phạm

8 tháng 5 2018 - olm

cho 3 số thực x,y z thỏa mãn $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{y^2z^2}{x\left(y^2+z^2\right)}+\frac{z^2x^2}{y\left(z^2+x^2\right)}+\frac{x^2y^2}{z\left(x^2+y^2\right)}$

#Toán lớp 9

1

CC

chikaino channel

9 tháng 5 2018

Đặt $\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c$

Ta có $a,b,c>0;a^2+b^2+c^2=1$

và $P=\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}$

$=\frac{a^2}{a\left(1-a^2\right)}+\frac{b^2}{b\left(1-b^2\right)}+\frac{c^2}{c\left(1-c^2\right)}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương ta có

$a^2\left(1-a^2\right)^2=\frac{1}{2}.2a^2.\left(1-a^2\right)\left(1-a^2\right)$

$\le\frac{1}{2}\left(\frac{2a^2+1-a^2+1-a^2}{3}\right)^3=\frac{4}{27}$

$\Rightarrow a\left(1-a^2\right)\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\Rightarrow\frac{a^2}{a\left(1-a^2\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$(1)

Tương tự $\frac{b^2}{b\left(1-b^2\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}b^2$(2)

$\frac{c^2}{c\left(1-c^2\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}c^2$(3)

từ (1),(2) và (3) ta có $P\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Vậy Min của $P=\frac{3\sqrt{3}}{2}$Khi x=y=z$=\sqrt{3}$

Đúng(0)

NA

Ngoc An Pham

8 tháng 3 2019

Cho 3 số thực dương thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{y^2z^2}{x\left(y^2+z^2\right)}+\frac{x^2z^2}{y\left(z^2+x^2\right)}+\frac{x^2y^2}{z\left(x^2+y^2\right)}$

#Toán lớp 9

2

AH

Akai Haruma

Giáo viên

9 tháng 3 2019

Lời giải:

$\frac{1}{x^2}=1-\frac{1}{y^2}-\frac{1}{z^2}<1\Rightarrow x^2-1>0$

$P=\frac{y^2z^2}{x(y^2+z^2)}+\frac{x^2z^2}{y(x^2+z^2)}+\frac{x^2y^2}{z(x^2+y^2)}$

$=\frac{1}{x(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2})}+\frac{1}{y(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2})}+\frac{1}{z(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})}$

$=\frac{1}{x(1-\frac{1}{x^2})}+\frac{1}{y(1-\frac{1}{y^2})}+\frac{1}{z(1-\frac{1}{z^2})}$

$=\frac{x}{x^2-1}+\frac{y}{y^2-1}+\frac{z}{z^2-1}$

Xét đánh giá sau:

$\frac{x}{x^2-1}-\frac{3\sqrt{3}}{2x^2}=\frac{(x-\sqrt{3})^2(2x+\sqrt{3})}{2x^2(x^2-1)}\geq 0, \forall x^2>1$

$\Rightarrow \frac{x}{x^2-1}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2x^2}$

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:

$\Rightarrow P=\frac{x}{x^2-1}+\frac{y}{y^2-1}+\frac{z}{z^2-1}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2})=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Vậy $P_{\min}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{3}$

Đúng(0)

T

$\text{thangdeptrai}$

9 tháng 3 2019

SOS get it <(")

$\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)->\left(a;;bc\right)\text{for}\left(a;b;c>0\text{and}a^2+b^2+c^2=1\right)$

$\text{Khido}P=\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}$

$\text{Ta se cm}\sum_{cyc}\frac{a}{b^2+c^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}$$\text{Viet lai BDT can chung minh}$

$\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$

$\text{Chuan hoa}a^2+b^2+c^2=3\text{ta can cm:}$

$\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\ge\frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow\frac{a}{3-a^2}+\frac{b}{3-b^2}+\frac{c}{3-c^2}\ge\frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow\frac{a}{3-a^2}-\frac{1}{2}+\frac{b}{3-b^2}-\frac{1}{2}+\frac{c}{3-c^2}-\frac{1}{2}\ge0$

$\Leftrightarrow\sum_{cyc}\left(\frac{a}{3-a^2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left(x^2-1\right)\right)\ge0$

$\Leftrightarrow\frac{a\left(a+2\right)\left(a-1\right)^2}{3-a^2}+\frac{b\left(b+2\right)\left(b-1\right)^2}{3-b^2}+\frac{c\left(c+2\right)\left(c-1\right)^2}{3-c^2}\ge0$

Đúng(0)

KL

khôi lê nguyễn kim

3 tháng 11 2019 - olm

Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn: $x+y+z=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$Q=\frac{x+1}{1+y^2}+\frac{y+1}{1+z^2}+\frac{z+1}{1+x^2}$

#Toán lớp 9

1

TT

Thanh Tùng DZ

4 tháng 11 2019

$\frac{x+1}{1+y^2}=\frac{\left(x+1\right)\left(1+y^2\right)-y^2\left(x+1\right)}{1+y^2}=x+1-\frac{y^2\left(x+1\right)}{1+y^2}$

TT...

$\Rightarrow Q=x+y+z+3-\frac{y^2\left(x+1\right)}{1+y^2}-\frac{z^2\left(y+1\right)}{1+z^2}-\frac{x^2\left(1+z\right)}{1+x^2}$

$\ge6-\frac{y^2\left(x+1\right)}{2y}-\frac{z^2\left(y+1\right)}{2z}-\frac{x^2\left(z+1\right)}{2x}=6-\frac{xy+yz+xz+x+y+z}{2}$

$=6-\frac{3+xy+yz+xz}{2}\ge6-\frac{3+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{2}=6-\frac{3+\frac{3^2}{3}}{2}=3$

Vậy GTNN của Q là 3 khi x = y = z = 1

Đúng(0)

A

Ayakashi

11 tháng 8 2017 - olm

cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=1. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$A=\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}$

mn giúp nha mơn nhiều

#Toán lớp 9

3

KN

Kiệt Nguyễn

30 tháng 7 2020

Xét: $\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}-\frac{y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}=\frac{x^4-y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}$$=\frac{\left(x^2+y^2\right)\left(x^2-y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}=\frac{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)\left(x-y\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}=x-y$(1)

Tương tự, ta có: $\frac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}-\frac{z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}=y-z$(2); $\frac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}-\frac{x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}=z-x$(3)

Cộng theo vế của 3 đẳng thức (1), (2), (3), ta được:

$\left[\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\right]$$-\left[\frac{y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\right]=0$

$\Rightarrow\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}$$=\frac{y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}$

Mà $A=\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}$nên $2A=\frac{x^4+y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4+z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4+x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}$$\ge\frac{\frac{\left(y^2+z^2\right)^2}{2}}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{\frac{\left(y^2+z^2\right)^2}{2}}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{\frac{\left(z^2+x^2\right)^2}{2}}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}$

$=\frac{1}{2}\left(\frac{x^2+y^2}{x+y}+\frac{y^2+z^2}{y+z}+\frac{z^2+x^2}{z+x}\right)$$\ge\frac{1}{2}\left(\frac{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}{x+y}+\frac{\frac{\left(y+z\right)^2}{2}}{y+z}+\frac{\frac{\left(z+x\right)^2}{2}}{z+x}\right)$$=\frac{1}{4}\left[\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)\right]=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)=\frac{1}{2}$(Do theo giả thiết thì x + y + z = 1)

$\Rightarrow A\ge\frac{1}{4}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

Đúng(0)

TN

Thắng Nguyễn

12 tháng 8 2017

Bài này t làm rồi, "nhẹ" không ấy mà :|

Dự đoán khi $x=y=z=\frac{1}{3}\Rightarrow A=\frac{1}{4}$. Ta c/m nó là GTNN của A

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

$A=Σ\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{Σ\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}$

Cần chứng minh BĐT $\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{Σ\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\frac{x+y+z}{4}$

$\Leftrightarrow4\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge\left(x+y+z\right)Σ\left(2x^3+x^2y+x^2z\right)$

$\LeftrightarrowΣ\left(2x^4-3x^3y-3x^3z+6x^2y^2-2x^2yz\right)\ge0$

$\LeftrightarrowΣ\left(2x^4-3x^3y-3x^3z+4x^2y^2\right)+Σ\left(2x^2y^2-2x^2yz\right)\ge0$

$\LeftrightarrowΣ\left(x^4-3x^3y+4x^2y^2-3xy^3+y^4\right)+Σ\left(x^2z^2-2z^2xy+y^2z^2\right)\ge0$

$\LeftrightarrowΣ\left(x-y\right)^2\left(x^2-xy+y^2\right)+Σz^2\left(x-y\right)^2\ge0$

BĐT cuối đúng tức ta có $A_{Min}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$

P/s: Nguồn lời giải Câu hỏi của Vo Trong Duy - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath, rảnh quá ngồi gõ lại :V

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP