Question

[Nguyễn Phú Hiệp]

Cho hình vuông AMKE, nội tiếp ΔABC vuông tại A sao cho K ϵ BC,      E ϵ AC. Các cạnh của hình vuông tỉ lệ với bán kính đường tròn nội tiếp ΔABC theo tỉ số \(\dfrac{\sqrt{2}+2}{2}\). Tính các góc của ΔABC

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

Do AMKE là hình vuông => AK là phân giác \(\widehat{BAC}\)

Dựng đường phân giác của \(\widehat{B}\) cắt AK tại O => O là tâm đường tròn nội tiếp tg ABC

Từ O dựng đường thẳng vuông góc và cắt AB tại D => OD là bán kính đường tròn nội tiếp tg ABC

Xét tg vuông AMK có

\(KM\perp AB;OD\perp AB\) => KM//OD

Gọi độ dài cạnh hình vuông AMKE là a \(\Rightarrow MK=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{MK}{OD}=\dfrac{AK}{AO}\Rightarrow\dfrac{a\sqrt{2}}{AO}=\dfrac{\sqrt{2}+2}{2}\Rightarrow AO=\dfrac{2a\sqrt{2}}{\sqrt{2}+2}\)

\(\Rightarrow KO=AK-AO=a\sqrt{2}-\dfrac{2a\sqrt{2}}{\sqrt{2}+2}=\dfrac{2a}{\sqrt{2}+2}\)

Xét tg ABK có

\(\dfrac{AO}{AB}=\dfrac{KO}{BK}\) (Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy)

\(\Rightarrow\dfrac{AO}{AM+BM}=\dfrac{KO}{BK}\)

\(\Rightarrow\dfrac{\dfrac{2a\sqrt{2}}{\sqrt{2}+2}}{a+BM}=\dfrac{\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}+2}}{BK}\Rightarrow\dfrac{2a\sqrt{2}}{\sqrt{2}+2}.\dfrac{\sqrt{2}+2}{2a}=\dfrac{a+BM}{BK}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a+BM}{BK}=\sqrt{2}\Rightarrow\dfrac{MK+BM}{BK}=\dfrac{MK}{BK}+\dfrac{BM}{BK}=\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\sin\widehat{B}+\sin\widehat{MKB}=\sqrt{2}\)

Mà \(KM\perp AB;AC\perp AB\) => KM//AC \(\Rightarrow\widehat{MKB}=\widehat{C}\)

\(\Rightarrow\sin\widehat{B}+\sin\widehat{C}=\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow2\sin\dfrac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}\cos\dfrac{\widehat{B}-\widehat{C}}{2}=\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow2\cos45^o\cos\dfrac{\widehat{B}-\widehat{C}}{2}=\sqrt{2}\Rightarrow\cos\dfrac{\widehat{B}-\widehat{C}}{2}=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{\widehat{B}-\widehat{C}}{2}=0\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{C}=45^o\)