Question

[Nguyễn Huỳnh Minh Đạt]

Bài 15: Cho △ABC△ABC có A=90oA=90o (AB<AC)(AB<AC), đường cao AH,ADAH,AD là phân giác của △AHC△AHC. Kẻ DE⊥AC.DE⊥AC. a, Chứng minh: DH=DEDH=DE b, Gọi KK là giao điểm của DEDE và AHAH. Chứng minh △AKC△AKC cân c, Chứng minh △KHE=△CEH△KHE=△CEH d, Cho BH=8cm,CH=32cmBH=8cm,CH=32cm. Tính ACAC e, Giả sử △ABC△ABC có C=30oC=30o, ADAD cắt CKCK tại PP. Chứng minh △HEP△HEP đều

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

a/ Xét tg vuông ADH và tg vuông ADE có

AD chung

^DAH = ^DAE (gt)

=> tg ADH = tg ADE (Hai tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau) => DH=DE

b/ Ta có

\(KE\perp AC;CH\perp AK\) => D là trực tâm của tg AKC => \(AD\perp KC\) (trong tg 3 đường cao đồng quy)

Mà AD là phân giác của ^HAC

=> tg AKC cân tại A (Tam giác có đường cao đồng thời là đường phân giác thí tg đó là tg cân)

c/

Xét tg vuông AKE và tg vuông ACH có

^AKE = ^ACH (cùng phụ với KAC) (1)

tg AKC cân (cmt) => AK=AC

=> tg AKE = tg ACH (Hai tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau) => KE=CH (2)

Ta có DH=DE (cmt) => tg DHE cân tại D => ^KEH = ^CHE (góc ở đáy tg cân) (3)

Từ (1) (2) (3) => tg KHE = tg CEH (g.c.g)

d/ 

Ta có BC=BH+CH=8+32=40 cm

Xét tg vuông ACH và tg vuông ABC có ^ACB chung

=> tg ACH đồng dạng với tg ABC (g.g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{CH}{AC}\Rightarrow AC^2=CH.BC=32.40\Rightarrow AC=16\sqrt{5}\) cm

e/

Ta có \(\widehat{C}=30^o\Rightarrow\widehat{KAC}=60^o\Rightarrow\widehat{AKC}=\widehat{ACK}=60^o\)

=> tg AKC là tg đều => AK=AC=KC

Xét tg AKC có

AP; KE; CH là đường cao của tg AKC => AP; KE; CH là đường trung tuyến của tg AKC => E là trung điểm của AC; H là trung điểm của AK và P là trung điểm của KC

=> PE; EH; HP là đường trung bình của tg AKC

=> PE=EH=HP=AK/2=KC/2=AC/2

=> tg HEP là tg đều