cho các số thực dương a,b thỏa mãn
\(a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}=a^{102}+b^{102}\)
tính \(a^{2007}+b^{2007}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
20 tháng 3 2021
Từ \(a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}=a^{102}+b^{102}\)
\(\Rightarrow a^{100}+b^{100}+a^{102}+b^{102}=2\left(a^{101}+b^{101}\right)\)
\(\Rightarrow a^{100}+b^{100}+a^{102}+b^{102}-2\left(a^{101}+b^{101}\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a^{102}-2a^{101}+a^{100}\right)+\left(b^{102}-2b^{101}+b^{100}\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a^{51}-a^{50}\right)^2+\left(b^{51}-b^{50}\right)^2=0\left(1\right)\)
Vif \(\hept{\begin{cases}\left(a^{51}-a^{50}\right)^2\ge0\forall a\\\left(b^{51}-b^{50}\right)^2\ge0\forall b\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(a^{51}-a^{50}\right)^2+\left(b^{51}-b^{50}\right)^2\ge0\forall a,b\left(2\right)\)
Tứ (1) và (2) :
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(a^{51}-a^{50}\right)^2=0\\\left(b^{51}-b^{50}\right)^2=0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^{51}-a^{50}=0\\b^{51}-b^{50}=0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^{51}=a^{50}\\b^{51}=b^{50}\end{cases}}\)
Vì a,b là các số thực dương nên \(a=b=1\)
\(\Rightarrow P=a^{2007}+b^{2007}=1^{2007}+1^{2007}=1+1=2\)
Vậy \(P=2\)
TN
2 tháng 10 2016
\(a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}\)
\(\Rightarrow a^{101}-a^{100}+b^{101}-b^{100}=0\)
\(\Rightarrow a^{100}\left(a-1\right)+b^{100}\left(b-1\right)=0\left(1\right)\)
- Nếu a và b cùng lớn hơn 1 thì: a-1 và b-1 đều dương nên:
\(a^{100}\left(a-1\right)+b^{100}\left(b-1\right)>0\) không đúng với (1)
- Nếu a và b cùng nhỏ hơn 1 thì: a-1 và b-1 đều âm nên:
\(a^{100}\left(a-1\right)+b^{100}\left(b-1\right)< 0\) không đúng với (1)
- Nếu a và b có 1 số lớn hơn hoặc bằng 1 và 1 số nhỏ hơn hoặc bằng 1
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge1;b\le1\)
Ta có:
\(a^{100}\left(a-1\right)+b^{100}\left(b-1\right)=0\)
\(\Rightarrow a^{100}\left(a-1\right)=b^{100}\left(b-1\right)\left(2\right)\)
Lại có:
\(a^{101}+b^{101}=a^{102}+b^{102}\)
\(\Rightarrow a^{102}-a^{101}+b^{102}-b^{101}=0\)
\(\Rightarrow a^{101}\left(a-1\right)+b^{101}\left(b-1\right)=0\)
\(\Rightarrow a\cdot a^{100}\left(a-1\right)+b\cdot b^{100}\left(b-1\right)=0\)
\(\Rightarrow a\cdot a^{100}\left(a-1\right)-b\cdot b^{100}\left(b-1\right)=0\)
\(\Rightarrow a\cdot a^{100}\left(a-1\right)-b\cdot a^{100}\left(a-1\right)=0\)(theo (2))
\(\Rightarrow a^{100}\left(a-1\right)\left(a-b\right)=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a-1=0\\a-b=0\end{cases}}\)(do a>0)
\(\Rightarrow a=b=1\)\(\Rightarrow P=1^{2007}+1^{2007}=2\)
2 tháng 10 2016
<br class="Apple-interchange-newline"><div id="inner-editor"></div>a≥1;b≤1
Ta có:
a100(a−1)+b100(b−1)=0
⇒a100(a−1)=b100(b−1)(2)
Lại có:
a101+b101=a102+b102
⇒a102−a101+b102−b101=0
<br class="Apple-interchange-newline"><div id="inner-editor"></div>⇒a100(a−1)+b100(b−1)=0(1)
- Nếu a và b cùng lớn hơn 1 thì: a-1 và b-1 đều dương nên:
a100(a−1)+b100(b−1)<0 không đúng với (1)
- Nếu a và b có 1 số lớn hơn hoặc bằng 1 và 1 số nhỏ hơn hoặc bằng 1
Không mất tính tổng quát, giả sử
<br class="Apple-interchange-newline"><div id="inner-editor"></div>⇒a100(a−1)=b100(b−1)(2)
Lại có:
a101+b101=a102+b102
⇒a102−a101+b102−b101=0
<br class="Apple-interchange-newline"><div id="inner-editor"></div>⇒a100(a−1)=b
YN
30 tháng 1 2023
Theo đề ra, ta có:
\(a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}=a^{102}+b^{102}\)
\(\Leftrightarrow\left(a^{100}+b^{100}\right).\left(a^{102}+b^{102}\right)=\left(a^{101}+b^{101}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^{100}.b^{100}.\left(a^2+b^2\right)+a^{202}+b^{202}=a^{202}+b^{202}+2a^{101}.b^{101}\)
\(\Leftrightarrow a^{100}.b^{100}.\left(a^2+b^2\right)=2a^{101}.b^{101}\)
\(\Leftrightarrow a^{100}.b^{100}.\left(a^2+b^2-2ab\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a=b=0\)
\(\Rightarrow a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}\)
\(\Rightarrow a^{100}=a^{101}\)
\(\Leftrightarrow a^{100}.\left(a-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\left(loại\right)\\a=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow A=a^{2015}+b^{2015}=1+1=2\).
30 tháng 1 2023
\(Từ:\) \(a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}\)
\(\Leftrightarrow a^{100}\left(a-1\right)+b^{100}\left(b-1\right)=0\left(1\right)\)
\(và\) \(a^{101}+b^{101}=a^{102}+b^{102}\)
\(\Leftrightarrow a^{101}\left(a-1\right)+b^{101}\left(b-1\right)=0 \left(2\right)\)
\(Từ\left(1\right)\) \(và\) \(\left(2\right)\)
\(\Rightarrow a^{101}\left(a-1\right)+b^{101}\left(b-1\right)-a^{100}\left(a-1\right)-b^{100}\left(b-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a^{100}\left(a-1\right)^2+b^{100}\left(b-1\right)^2\)
\(Do\) \(a,b>0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-1\right)^2=0\\\left(b-1\right)^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow A=1+1=2\)
em không chắc cho lắm ạ
NT
1
BT
19 tháng 4 2018
a100+b100=a101+b101
=> b100-b101=a101-a100
<=> b100(1-b)=a100(a-1) (1)
Lại có:
a101+b101=a102+b102
=> b101-b102=a102-a101
<=> b101(1-b)=a101(a-1) <=> b101(1-b)=a.a100(a-1) = a.b100(1-b) (Do từ (1))
=> b101(1-b)-a.b100(1-b)=0 => b100(1-b)(b-a)=0
=> a=b=1
=> P=a2016+b2017=1+1=2
Đáp số: P=2
22 tháng 1 2019
Ta có:\(a^{102}+b^{102}=\left(a^{101}+b^{101}\right)\left(a+b\right)-ab\left(a^{100}+b^{100}\right)\forall a,b\left(1\right)\)
Mặt khác:\(a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}=a^{102}+b^{102}\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra:
\(1=a+b-ab\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a-1=0\\b-1=0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a=1\Rightarrow b=1\\b=1\Rightarrow a=1\end{cases}}\)
\(\Rightarrow P=1+1=2\)
25 tháng 8 2017
Chỉ có số một
Vậy a;b = 1
Vậy \(1^{2010}+1^{2010}=2\)
Vậy P = 2
D
14 tháng 4 2017
a100 + b100 = a101 + b101
=>a101-a100+b101-b100=0
=>a100(a-1)+b100(b-1)=0 (#)
Nếu a và b cùng lớn hơn 1 thì: a-1 và b-1 đều là số dương nên:
a100(a-1)+b100(b-1)>0
không đúng với (#).
Nếu a và b cùng nhỏ hơn 1 thì: a-1 và b-1 đều là số âm nên:
a100(a-1)+b100(b-1)<0
không đúng với (#).
Nếu a và b có một số lớn hơn hoặc bằng 1 và 1 số nhỏ hơn hoặc bằng 1. Không mất tính tổng quát ta xét: a1 và b1.
Ta có:
a100(a-1)+b100(b-1)=0
=>a100(a-1)=b100(1-b) (*)
Lại có:
a101 + b101 = a102 + b102
=> a102 –a101+ b102-b101=0
=>a101(a-1)+b101(b-1)=0
=>a.a100(a-1)+b.b100(b-1)=0
=>a. a100(a-1)- b.b100(1-b)=0
=> a. a100(a-1)- b. a100(a-1)=0 (do (*) )
=> a100(a-1)(a-b)=0
=>
=>
Với a=1 thay vào (*) ta được:
0=b100(b-1)
=>b=1 (vì b>0.)
Với a=b thay vào 1 ta được:
a100(a-1)=a100(1-a)
=>a-1=1-a
=>2a=2
=>a=1 =>b=1
Vậy a=b=1 trong mọi trường hợp.
\(\Rightarrow\)\(P=1^{2014}+1^{2015}=1+1=2\)
25 tháng 11 2017
a100 + b100 = a101 + b101
=>a101-a100+b101-b100=0
=>a100(a-1)+b100(b-1)=0 (#)
Nếu a và b cùng lớn hơn 1 thì: a-1 và b-1 đều là số dương nên:
a100(a-1)+b100(b-1)>0
không đúng với (#).
Nếu a và b cùng nhỏ hơn 1 thì: a-1 và b-1 đều là số âm nên:
a100(a-1)+b100(b-1)<0
không đúng với (#).
Nếu a và b có một số lớn hơn hoặc bằng 1 và 1 số nhỏ hơn hoặc bằng 1. Không mất tính tổng quát ta xét: a1 và b1.
Ta có:
a100(a-1)+b100(b-1)=0
=>a100(a-1)=b100(1-b) (*)
Lại có:
a101 + b101 = a102 + b102
=> a102 –a101+ b102-b101=0
=>a101(a-1)+b101(b-1)=0
=>a.a100(a-1)+b.b100(b-1)=0
=>a. a100(a-1)- b.b100(1-b)=0
=> a. a100(a-1)- b. a100(a-1)=0 (do (*) )
=> a100(a-1)(a-b)=0
=>
=>
Với a=1 thay vào (*) ta được:
0=b100(b-1)
=>b=1 (vì b>0.)
Với a=b thay vào 1 ta được:
a100(a-1)=a100(1-a)
=>a-1=1-a
=>2a=2
=>a=1 =>b=1
Vậy a=b=1 trong mọi trường hợp.
NT
2
16 tháng 6 2016
\(a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}\Leftrightarrow a^{100}-a^{101}=b^{101}-b^{100}\Rightarrow a^{100}\left(1-a\right)=b^{100}\left(b-1\right)\)
\(\Rightarrow-a^{100}\left(a-1\right)=b^{100}\left(b-1\right)\)
1./ Nếu b = 1 => a = 1 (do a;b>0) nên tổng S = a2010 + b2010 = 2
2./ Nếu b khác 1 \(\Rightarrow\frac{a-1}{b-1}=\frac{b^{100}}{a^{100}}=\left(\frac{b}{a}\right)^{100}\)(1)
Tương tự từ: \(a^{102}+b^{102}=a^{101}+b^{101}\Leftrightarrow a^{102}-a^{101}=b^{101}-b^{102}\Rightarrow a^{101}\left(a-1\right)=b^{101}\left(1-b\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a-1}{b-1}=\frac{b^{101}}{a^{101}}=\left(\frac{b}{a}\right)^{101}\)(2)
Từ (1) và (2) \(\left(\frac{b}{a}\right)^{100}=\left(\frac{b}{a}\right)^{101}\Rightarrow\frac{b}{a}=1\Rightarrow a=b\)
Từ: a100 + b100 = a101 + b101 => 2a100 = 2 a101 => a100 = a101 => a = 1; b = 1
Và tổng S = a2010 + b2010 = 2.
TP
1
Đặt M=a2007+b2007
Do \(a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}=a^{102}+b^{102}\)(1)
\(\Rightarrow\left(a^{101}+b^{101}\right)^2=\left(a^{100}+b^{100}\right)\left(a^{102}+b^{102}\right)\)
\(\Leftrightarrow a^{202}+b^{202}+2.a^{101}.b^{101}=a^{202}+a^{100}.b^{102}+a^{102}.b^{100}+b^{202}\)
\(\Leftrightarrow2.a^{101}.b^{101}=a^{100}.b^{100}\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^{100}.b^{100}\left(a^2-2ab+b^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a^{100}.b^{100}\left(a-b\right)^2=0\)
Do a,b > 0 => (a-b)2=0 <=> a=b
Thay a=b vào (1) ta được
\(2.a^{100}=2.a^{101}=2.a^{102}\)
\(\Leftrightarrow a^{100}=a^{101}\)
\(\Leftrightarrow a^{100}\left(a-1\right)=0\)
Do a>0 nên a=1 =>b=1
Vậy M=12017+12017=2
đây nhé hơi dài Xem câu hỏi