Question

[Thầy Tùng Dương]

Cho đường tròn $(O ; R)$, đường kính $\mathrm{AB}$. Gọi $I$ là điểm chính giữa cung $A B$. Lẫy điểm $M$ bất kì trên đoạn thẳng $O A(M$ khác $O$ và $A)$. Tia $I M$ cắt đường tròn tại điểm thứ hai $N$. Đường thẳng qua $M$, vuông góc với $A B$ cắt đoạn thẳng $B N$ tại $C$. a) Chứng minh bốn điểm $A, M, C, N$ cùng thuộc một đường tròn. b) Tính số đo góc $A N M$ và chứng minh $A M=M C$. c) Khi $M$ thay đổi trên đoạn $O A$, chứng minh $M N<R$.

Answer 1

[Lê Song Phương]

a) Dễ thấy \(\widehat{AMC}=90^o\) Xét (O) có đường kính AB \(\Rightarrow\) \(\widehat{ANB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn. \(\Rightarrow\widehat{ANB}=90^o\) hay \(\widehat{ANC}=90^o\) Tứ giác ANCM có \(\widehat{AMC}+\widehat{ANC}=90^o+90^o=180^o\) \(\Rightarrow\) Tứ giác ANCM nội tiếp \(\Rightarrow\) 4 điểm A, M, C, N cùng thuộc 1 đường tròn. b) Vì AB là đường kính của (O) \(\Rightarrow sđ\stackrel\frown{AB}=180^o\) Mà I là điểm chính giữa của cung AB \(\Rightarrow sđ\stackrel\frown{IA}=\dfrac{sđ\stackrel\frown{AB}}{2}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\) Lại có \(\widehat{ANI}\) là góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{IA}\) \(\Rightarrow\widehat{ANI}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{IA}=\dfrac{1}{2}.90^o=45^o\) hay \(\widehat{ANM}=45^o\) Mặt khác, tứ giác ANCM nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{ANM}=\widehat{ACM}\) Mà \(\widehat{ANM}=45^o\Rightarrow\widehat{ACM}=45^o\) Lại có \(\Delta ACM\) vuông tại M \(\Rightarrow\Delta ACM\) vuông cân tại M \(\Rightarrow AM=CM\) c) Kẻ đường kính ID của (O)  Ta có \(MN=IN-IM\) Mà IN là dây cỏa (O) nên hiển nhiên \(IN\le ID\), nhưng do IN không đi qua O nên \(IN< ID\) (1) Dễ dàng chứng minh \(IO\perp AB\) tại O, do đó \(\Delta IOM\) vuông tại O \(\Rightarrow IM>IO\) (không xảy ra dấu "=" vì M không trùng với O) \(\Rightarrow-IM< -IO\) (2) Từ (1) và (2) \(\Rightarrow IN-IM< ID-IO\Leftrightarrow MN< OD=R\) Vậy ta có đpcm.