Cho \(a\ge b\ge c\)và \(x\le y\le z\)
CMR \(\left(a+b+c\right)\left(x+y+z\right)\ge3\left(ax+by+cz\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
29 tháng 10 2016
Xét hiệu:
(a + b + c)(x + y + z) - 3(ax + by + cz)
= a(x + y + z) - 3ax + b(x + y + z) - 3by + c(x + y + z) - 3cz
= a(x + y + z - 3x) + b(x + y + z - 3y) + c(x + y + z - 3z)
= a(y + z - 2x) + b(x + z - 2y) + c(x + y - 2z)
= a[(y - x) - (x - z)] + b[(z - y) - (y - x)] + c[(x - z) - (z - y)]
= (y - x)(a - b) + (x - z)(c - a) + (z - y)(b - c) \(\ge0\)
do \(a\ge b\ge c\) và \(x\le y\le z\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(x+y+z\right)\ge3\left(ax+by+cz\right)\left(đpcm\right)\)
31 tháng 3 2018
Nó là bđt bunyakovsky luôn rồi mà bạn,lên google sẽ có cách chứng minh
11 tháng 1 2015
Bai 1: Ap dung BDT Bunhiacopxki ta co:
\(ax+by+cz+2\sqrt {(ab+ac+bc)(xy+yz+xz)} \)
\(≤ \sqrt {(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)} + \sqrt {(ab+ac+bc)(xy+yz+zx)}+\sqrt {(ab+ac+bc)(xy+yz+zx)}\)
\(≤ \sqrt {(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc)(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx)}\)
\(= (a+b+c)(x+y+z)\)
=> \(Q.E.D\)
11 tháng 1 2015
Tiep bai 4:Ta co:
BDT <=> \((2+y^2z)(2+z^2x)(2+x^2y)≥(2+x)(2+y)(2+z)\)
Sau khi khai trien con: \(2(z^2x+y^2z+x^2y)+x^2z+z^2y+y^2x≥xy+yz+zx+2x+2y+2z \)
Ap dung BDT Cosi ta co:
\(z^2x+x ≥ 2zx \) <=> \(z^2x≥2zx-x\)
Lam tuong tu ta co: \(2(z^2x+y^2z+x^2y)≥4xy+4yz+4zx-2x-2y-2z \)(1)
\(x^2z+{1\over z}≥2x \) <=> \(x^2z≥2x-xy \) (do xyz=1)
Lam tuong tu ta co: \(x^2z+z^2y+y^2x≥ 2y+2z+2x-xy-yz-zx\)(2)
Cong (1) voi (2) ta co: VT\(≥ 3(xy+yz+zx)\)(*)
Voi cach lam tuong tu ta cung duoc: VT\(≥ 3(x+y+z) \)(**)
Tu (*) va (**) suy ra : \(3 \)VT \(≥ 6(x+y+z)+3(xy+yz+zx) \)
<=> VT \(≥ 2(x+y+z)+xy+yz+zx\)
=> \(Q.E.D\)
Đây là bất đẳng thức Trê-bư-sep nhé :)
Ta có : \(\left(a+b+c\right)\left(x+y+z\right)\ge3\left(ax+by+cz\right)\)
\(\Leftrightarrow a\left(x+y+z\right)-3ax+b\left(x+y+z\right)-3by+c\left(x+y+z\right)-3cz\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left(y+z-2x\right)+b\left(x+z-2y\right)+c\left(x+y-2z\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left(y-x\right)+a\left(z-x\right)+b\left(x-y\right)+b\left(z-y\right)+c\left(x-z\right)+c\left(y-z\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(y-x\right)\left(a-b\right)+\left(z-x\right)\left(a-c\right)+\left(z-y\right)\left(b-c\right)\ge0\)
Bất đẳng thức cuối luôn đúng vì \(\hept{\begin{cases}a\ge b\ge c\\x\le y\le z\end{cases}}\)
Vậy bđt ban đầu dc chứng minh