Với x,y là hai số thực dương: x+y+xy=15, tìm gtnn của biểu thức P=x^2+y^2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TA
1
4 tháng 9 2016
Đặt \(B=\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+x+y}\)
Ta có bđt sau \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\) tự chứng mình nha
Áp dụng \(a=x,b=y,c=1\)
Ta có : \(B=\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+x+y}\ge3\)
Ta có : \(A=\frac{1}{B}+B=\frac{1}{B}+\frac{B}{9}+\frac{8B}{9}\ge\frac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=1\)
25 tháng 4 2021
Ta có: \(Q=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{3}{xy}=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{6}{2xy}=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{2xy}+\dfrac{4}{2xy}\)
Áp dụng BĐT phụ: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Rightarrow2\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\right)\ge2\left(\dfrac{4}{x^2+2xy+y^2}\right)=2\left[\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\right]=2.\dfrac{4}{4}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=1
Áp dụng BĐT phụ: \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}=\dfrac{2^2}{4}=1\)
Dấu"=" xảy ra khi x=y=1
\(\Rightarrow2xy\le2.1=2\)
\(\Rightarrow\dfrac{4}{2xy}\ge\dfrac{4}{2}=2\)
\(\Rightarrow Q=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{2xy}+\dfrac{4}{2xy}=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{3}{xy}\ge2+2=4\)
Dấu"=" xảy ra khi x=y=1
5 tháng 5 2020
Đặt S=\(\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2+2xy+y^2}{xy}=\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{xy}+2\)
Áp dụng BĐT Cosi ta có: \(x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow xy< \frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)
Do đó \(S\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{4\left(x^2+y^2\right)}{\left(x+y\right)^2}+2\ge2\sqrt{\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}\cdot\frac{4\left(x^2+y^2\right)}{\left(x+y\right)^2}}+2=6\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y
Vậy MinS=6 đạt được khi x=y
5 tháng 5 2020
Ta có:
\(\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{\left(x+y\right)^2}{xy}\)
= \(\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy}+\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy}\)
\(\ge\left(x+y\right)^2.\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{4xy}{2xy}=6\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y
Vậy min \(\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{\left(x+y\right)^2}{xy}\)= 6 đạt tại x = y.
LV
1 tháng 7 2017
AM-GM thôi :))
\(M=1+\frac{2xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{xy}+2=3+\frac{2xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{2xy}+\frac{x^2+y^2}{2xy}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{2xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{2xy}\ge2\sqrt{\frac{2xy}{x^2+y^2}.\frac{x^2+y^2}{2xy}}=2\)
\(\frac{x^2+y^2}{2xy}\ge\frac{2xy}{2xy}=1\)
\(\Rightarrow VT\ge3+2+1=6\)
Dấu = xảy ra khi x=y
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 12 2021
\(P=\dfrac{1}{y}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right)\ge\dfrac{1}{y}.\dfrac{4}{x+z}=\dfrac{4}{y\left(x+z\right)}\ge\dfrac{4}{\dfrac{\left(y+x+z\right)^2}{4}}=4\)
\(P_{min}=4\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{2};1;\dfrac{1}{2}\right)\)
30 tháng 5 2018
\(M=\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{xy}\)
\(=\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{4xy}+\frac{3}{4}.\frac{x^2+y^2}{xy}\)
\(\ge2\sqrt{\frac{xy}{x^2+y^2}.\frac{x^2+y^2}{4xy}}+\frac{3}{4}.\frac{2xy}{xy}\)
\(\Rightarrow M\ge1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y>0\)
10 tháng 2 2021
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số thực dương \(\dfrac{xy}{z}\) và \(\dfrac{yz}{x}\) có:
\(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}\) \(\ge\) 2\(\sqrt{\dfrac{xy}{z}\cdot\dfrac{yz}{x}}\) = 2\(\sqrt{y^2}\) = 2y (1)
Tương tự: \(\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}\ge2z\) (2)
\(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{zx}{y}\ge2x\) (3)
Từ (1); (2); (3)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{2xy}{z}+\dfrac{2yz}{x}+\dfrac{2zx}{y}\ge2x+2y+2z\)
\(\Leftrightarrow\) 2\(\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}\right)\) \(\ge\) 2(x + y + z)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}\ge x+y+z=10\)
Hay PMin = 10
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) x = y = z = \(\dfrac{10}{3}\)
Vậy ...
Chúc bn học tốt!
XO
21 tháng 4 2022
\(A=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{xy}=\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\right)+\dfrac{1}{2xy}\)
Áp dụng BĐT Schwarz : \(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}=4\)
Lại có \(\dfrac{1}{2xy}=\dfrac{2}{4xy}\ge\dfrac{2}{\left(x+y\right)^2}=2\)
Cộng vế với vế được P \(\ge6\) ("=" khi x = y = 1/2)
Vậy Min P = 6 <=> x = y = 1/2
\(P=x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy=\left(15-xy\right)^2-2xy=\left(xy\right)^2-32xy+225=p^2-32p+225.\)
s+p = 15 ; s2 -4p>/ 0 => p</ 3
P min = 138 khi p = 3 ; s = 12
bạn gải thích rõ bước cuối được không bạn từ bước s+p=15;s2-4p>/0