Tìm GTLN của bt:
a> \(A=\frac{x\sqrt{y-4}+y\sqrt{x-1}}{xy}\)
b> \(B=\sqrt{xyz}\)
BIẾT: \(\frac{1}{1+\sqrt{z}}+\frac{1}{1+\sqrt{y}}+\frac{1}{1+\sqrt{z}}=2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
12 tháng 11 2018
\(A=\frac{1}{\sqrt{x^2-xy+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{y^2-yz+z^2}}+\frac{1}{\sqrt{z^2-zx+x^2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(x-y\right)^2+\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(y-z\right)^2+\frac{1}{2}\left(y^2+z^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(z-x\right)^2+\frac{1}{2}\left(z^2+x^2\right)}}\)
\(\le\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(y^2+z^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(z^2+x^2\right)}}\)
\(\le\frac{2}{x+y}+\frac{2}{y+z}+\frac{2}{z+x}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
CT
14 tháng 8 2020
áp dụng bunhiacopski ta có:
P^2 =< (1+1+1)(1/1+x^2 + 1/1+y^2+1/1+z^2)= 3(....)
đặt (...) =A
ta có: 1/1+x^2=< 1/2x
tt với 2 cái kia
=> A=< 1/2(1/x+1/y+1/z) =<1/2 ( xy+yz+xz / xyz)=1/2 ..........
đoạn sau chj chịu
^^ sorry
14 tháng 8 2020
Bài này là câu lớp 8 rất quen thuộc rùiiiiiii !!!!!!!!
gt <=> \(\frac{x+y+z}{xyz}=1\)
<=> \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1\)
Đặt: \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c\)
=> \(ab+bc+ca=1\)
VÀ: \(x=\frac{1}{a};y=\frac{1}{b};z=\frac{1}{c}\)
THAY VÀO P TA ĐƯỢC:
\(P=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{a^2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{b^2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{c^2}}}\)
=> \(P=\frac{1}{\sqrt{\frac{a^2+1}{a^2}}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{b^2+1}{b^2}}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{c^2+1}{c^2}}}\)
=> \(P=\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\)
Thay \(1=ab+bc+ca\) vào P ta sẽ được:
=> \(P=\frac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+ab+bc+ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}\)
=> \(P=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}}+\frac{c}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)
=> \(2P=2.\sqrt{\frac{a}{a+b}}.\sqrt{\frac{a}{a+c}}+2.\sqrt{\frac{b}{b+a}}.\sqrt{\frac{b}{b+c}}+2.\sqrt{\frac{c}{c+a}}.\sqrt{\frac{c}{c+b}}\)
TA ÁP DỤNG BĐT CAUCHY 2 SỐ SẼ ĐƯỢC:
=> \(2P\le\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+a}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}\)
=> \(2P\le\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+a}\right)+\left(\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+b}\right)+\left(\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+c}\right)\)
=> \(2P\le\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}\)
=> \(2P\le1+1+1=3\)
=> \(P\le\frac{3}{2}\)
DẤU "=" XẢY RA <=> \(a=b=c\) . MÀ \(ab+bc+ca=1\)
=> \(a=b=c=\sqrt{\frac{1}{3}}\)
=> \(x=y=z=\sqrt{3}\)
VẬY P MAX \(=\frac{3}{2}\) <=> \(x=y=z=\sqrt{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 4 2022
\(x+y+z=xyz\Rightarrow\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}=1\)
Đặt \(\left(\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow ab+bc+ca=1\)
\(P=\dfrac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{1+c^2}}=\dfrac{2a}{\sqrt{ab+bc+ca+a^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{ab+bc+ca+b^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{ab+bc+ca+c^2}}\)
\(P=\dfrac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)
\(P=\sqrt{\dfrac{2a}{a+b}.\dfrac{2a}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{2b}{a+b}.\dfrac{b}{2\left(b+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{2c}{c+a}.\dfrac{c}{2\left(c+b\right)}}\)
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2a}{a+b}+\dfrac{2a}{a+c}+\dfrac{2b}{a+b}+\dfrac{b}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{2c}{c+a}+\dfrac{c}{2\left(c+b\right)}\right)=\dfrac{9}{4}\)
\(P_{max}=\dfrac{9}{4}\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{7}{\sqrt{15}};\dfrac{1}{\sqrt{15}};\dfrac{1}{\sqrt{15}}\right)\) hay \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{\sqrt{15}}{7};\sqrt{15};\sqrt{15}\right)\)
HD
18 tháng 12 2015
bài này dễ nhưng bạn phải chứng minh bđt này đã:
\(\frac{1}{a+b+c+d}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\right)\)
với a;b;c;d là các số dương
bạn có thể cm bđt trên bằng cách biến đổi tương đương hoặc cm bđt Schwat (Sơ-vác)
Mình là 1 phần tử đại diện còn lại là hoàn toàn tt nhé
ta có \(\frac{1}{3\sqrt{x}+3\sqrt{y}+2\sqrt{z}}=\frac{1}{2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)+\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)+\left(\sqrt{x}+\sqrt{z}\right)}\)
\(\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}\right)\)
Tương tự ta cm được
\(VT\le\frac{1}{16}.4\left(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}\right)\)\(=\frac{1}{4}.3=\frac{3}{4}\)
dấu "=" khi x=y=z
10 tháng 8 2017
\(P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+1}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{xz}+\sqrt{z}+1}\)( Vì xyz=1 nên \(\sqrt{xyz}=1\))
\(P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{y}+1+\sqrt{yz}\right)}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{z}\left(\sqrt{x}+1+\sqrt{xy}\right)}\)
\(P=\frac{\sqrt{y}+1}{\sqrt{y}+1+\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{x}+1+\sqrt{xy}}\)
\(P=\frac{\sqrt{y}+1}{\sqrt{y}+1+\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{xyz}}{\sqrt{x}\left(1+\sqrt{yz}+\sqrt{y}\right)}\)
\(P=\frac{\sqrt{y}+1}{\sqrt{y}+1+\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{yz}}{\sqrt{y}+1+\sqrt{yz}}=\frac{\sqrt{y}+1+\sqrt{yz}}{\sqrt{y}+1+\sqrt{yz}}=1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
3 tháng 11 2019
Lời giải:
Đặt $(\sqrt{x}, \sqrt{y}, \sqrt{z})=(a,b,c)$. Khi đó:
$abc=\sqrt{xyz}=2$
$A=\frac{a}{ab+a+2}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{2c}{ca+2c+2}$
$=\frac{a}{ab+a+2}+\frac{ab}{abc+ab+a}+\frac{2c}{ca+2c+abc}$
$=\frac{a}{ab+a+2}+\frac{ab}{2+ab+a}+\frac{2}{a+2+ab}$
$=\frac{a+ab+2}{ab+a+2}=1$
$\Rightarrow \sqrt{A}=1$
Vậy.........
LM
4 tháng 1 2020
Ta có: \(xyz=4\Leftrightarrow\sqrt{xyz}=\sqrt{4}=2\)
\( A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{xy}+\sqrt{y}+1}+\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{zx}+2\sqrt{z}+2}\)
\(=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{xyz}}+\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{xyz}+\sqrt{xy}+\sqrt{x}}+\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{xz}+\sqrt{xyz}\sqrt{z}+\sqrt{xyz}}\\ =\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xyz}+\sqrt{xy}+\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{xyz}+\sqrt{xy}+\sqrt{x}}+\frac{2}{\sqrt{xyz}+\sqrt{xy}+\sqrt{x}}\\ =\frac{\sqrt{x}+\sqrt{xy}+2}{\sqrt{xyz}+\sqrt{xy}+\sqrt{z}}\\ =\frac{\sqrt{x}+\sqrt{xy}+\sqrt{xyz}}{\sqrt{xyz}+\sqrt{xy}+\sqrt{x}}\\ =1\)
\(\Leftrightarrow A=1\\ \Rightarrow\sqrt{A}=\sqrt{1}=1\)