Cho x>0, y>0 và \(x^2+y^2\le x+y\) . Tính GTLN của A = x + 3y.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
31 tháng 12 2021
\(c,P=\dfrac{x^2-x^2+8xy-16y^2}{x^2+4y^2}=\dfrac{8\left(\dfrac{x}{y}\right)-16}{\left(\dfrac{x}{y}\right)^2+4}\)
Đặt \(\dfrac{x}{y}=t\)
\(\Leftrightarrow P=\dfrac{8t-16}{t^2+4}\Leftrightarrow Pt^2+4P=8t-16\\ \Leftrightarrow Pt^2-8t+4P+16=0\)
Với \(P=0\Leftrightarrow t=2\)
Với \(P\ne0\Leftrightarrow\Delta'=16-P\left(4P+16\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow-P^2-4P+4\ge0\Leftrightarrow-2-2\sqrt{2}\le P\le-2+2\sqrt{2}\)
Vậy \(P_{max}=-2+2\sqrt{2}\Leftrightarrow t=\dfrac{4}{P}=\dfrac{4}{-2+2\sqrt{2}}=2+\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{y}=2+2\sqrt{2}\)
TQ
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 4 2020
Câu 2:
\(A-4=2x+3y\Rightarrow\left(A-4\right)^2=\left(2x+3y\right)^2\)
\(\left(A-4\right)^2\le\left(2^2+3^2\right)\left(x^2+y^2\right)=676\)
\(\Rightarrow-26\le A-4\le26\)
\(\Rightarrow-22\le A\le30\)
\(A_{max}=30\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=6\end{matrix}\right.\)
\(A_{min}=-22\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=-4\\y=-6\end{matrix}\right.\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 4 2020
\(2x+3y=1\Rightarrow y=\frac{1-2x}{3}\)
Do \(x;y\ge0\Rightarrow0\le x\le\frac{1}{2}\)
\(A=x^2+3\left(\frac{1-2x}{3}\right)^2=x^2+\frac{1}{3}\left(4x^2-4x+1\right)=\frac{7}{3}x^2-\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}\)
\(A=\frac{7}{3}\left(x-\frac{2}{7}\right)^2+\frac{1}{7}\ge\frac{1}{7}\)
\(\Rightarrow A_{min}=\frac{1}{7}\) khi \(x=\frac{2}{7};y=\frac{1}{7}\)
Mặt khác \(A=\frac{1}{3}x\left(7x-4\right)+\frac{1}{3}\)
Do \(x\le\frac{1}{2}\Rightarrow7x-4< 0\Rightarrow x\left(7x-4\right)\le0\)
\(\Rightarrow A\le\frac{1}{3}\Rightarrow A_{max}=\frac{1}{3}\) khi \(x=0;y=\frac{1}{3}\)
KR
0
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 9 2019
\(A^2=\left(2x+3y\right)^2\le\left(2^2+3^2\right)\left(x^2+y^2\right)=13^2\)
\(\Rightarrow A\le13\Rightarrow A_{max}=13\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=3\end{matrix}\right.\)
\(x^2+y^2\le x+y\Leftrightarrow\left(2x-1\right)^2\le-4y^2+4y+1\text{ (1)}\)
+Nếu \(-4y^2+4y+1< 0\) thì (1) có \(VT\ge0>VP\), (1) ko thỏa --> loại.
+Nếu \(-4y^2+4y+1=0\Leftrightarrow y=\frac{1+\sqrt{2}}{2}\text{ }\left(do\text{ }y>0\right)\) thì\(\left(2x-1\right)^2\le0\Leftrightarrow2x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)
\(A=x+3y=2+\frac{3}{\sqrt{2}}\approx4.12\)
+Xét \(-4y^2+4y+1>0\Leftrightarrow\frac{1-\sqrt{2}}{2}< y< \frac{1+\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow0< y< \frac{1+\sqrt{2}}{2}\approx1.207\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow-\sqrt{-4y^2+4y+1}\le2x-1\le\sqrt{-4y^2+4y+1}\)
\(\Rightarrow2x\le\sqrt{2-\left(2y-1\right)^2}+1\)
\(2A=2x+6y\le\sqrt{2-\left(2y-1\right)^2}+3\left(2y-1\right)+1+3\)
Áp dụng bđt Bu-nhia-cop-xki
\(1.\sqrt{2-\left(2y-1\right)^2}+3.\left(2y-1\right)\le\sqrt{1^2+3^2}.\sqrt{2-\left(2y-1\right)^2+\left(2y-1\right)^2}=2\sqrt{5}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{1}{3^2}=\frac{2-\left(2y-1\right)^2}{\left(2y-1\right)^2}\Leftrightarrow\left(2y-1\right)^2=\frac{9}{5}\)
\(\Leftrightarrow2y-1=\pm\frac{3}{\sqrt{5}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=\frac{3}{2\sqrt{5}}+\frac{1}{2}\approx1.17\in\left(0;\frac{1+\sqrt{2}}{2}\right)\\y=-\frac{3}{2\sqrt{5}}+\frac{1}{2}< 0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow2A\le4+2\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow A\le2+\sqrt{5}\approx4.23\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}y=\frac{3}{2\sqrt{5}}+\frac{1}{2}\\x=\frac{1+\sqrt{2-\left(2y-1\right)^2}}{2}=\frac{1}{2\sqrt{5}}+\frac{1}{2}\end{cases}}\)
.Điểm rơi \(x=y=1\)
\(A\le4\)
Kết thúc chứng minh.